Съдържание

НОФ 1999, III кръг (национален), 10–11 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1999

Министерство на образованието и науката. Централна комисия за провеждане на олимпиадата по физика. ТЕМА за републиканския (трети) кръг на олимпиадата по физика за 10. и 11. клас, 24 април 1999 година · 24 април 1999 г. · 10 т.

Условие

Малко топче с маса $m = 80\ g$ е закачено на безтегловна неразтеглива нишка с дължина $L = 80\ \mathrm{cm}$ . Топчето е отклонено на ъгъл $90^{\circ}$ от вертикалата и му е придадена начална скорост $v_0 = 3\ \mathrm{m/s}$ , насочена вертикално надолу (фиг. 1).

Топче на нишка с дължина L, закрепена в точка на хоризонтална опора до стена; нишката е хоризонтална, а топчето има скорост v0, насочена вертикално надолу. Пунктирно са показани вертикалата до най-ниското положение O и отклонено положение на нишката под ъгъл θ от вертикалата. — Фиг. 1

а) Колко е скоростта на топчето, когато преминава през равновесното положение $O$ ? [2 т.]

б) Колко нютона е максималната стойност на силата на опъване на нишката $T_{\max}$ ? [2 т.]

в) Представете силата на опъване на нишката $T$ като функция на ъгъла на отклонение от равновесното положение $\theta$ (фиг. 1). [3 т.]

г) Представете големината на ускорението на топчето $a$ като функция на ъгъла $\theta$ . Пресметнете големината на ускорението при $\theta = 60^{\circ}$ . [3 т.]

Съпротивлението на въздуха се пренебрегва. Земното ускорение приемете за $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Отговори

Решение

а) Избираме равновесното положение за нулево равнище на потенциалната енергия. От закона за запазване на механичната енергия следва равенството $mv_0^2/2 + mgL = mv^2/2$ , откъдето определяме скоростта $v$ , с която топчето преминава през равновесното си положение

v = \sqrt{v_0^2 + 2gL} = 5\ \mathrm{m/s}

…..2 точки

б) Силата на опъване на нишката е максимална, когато топчето преминава през равновесното си положение. Тогава центростремителната сила е равна на разликата от силата на опъване и силата на тежестта: $mv^2/L = T_{\max} - mg$ , откъдето определяме

T_{\max} = mv^2/L + mg = 3{,}3\ \mathrm{N}

……2 точки

в) Законът за запазване на механичната енергия и условието за движение на топчето по окръжност се изразяват с уравненията

mv_0^2/2 + mgL\cos\alpha = mv^2/2 \quad \text{и}

mv^2/L = T - mg\cos\theta.

От тези две уравнения изразяваме силата на опъване на нишката като функция на ъгъла на отклонение $\theta$

T = m(v_0^2/L + 3g\cos\theta)

…..3 точки

г) Нормалното (центростремителното) ускорение на топчето е

a_n = \frac{v^2}{L} = \frac{v_0^2 + 2gl\cos\theta}{L}.

Тангенциалното ускорение е: $a_\tau = g\sin\theta$ .

Големината на ускорението е

a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = \sqrt{\frac{(v_0^2 + 2gL\cos\theta)^2}{L^2} + g^2\sin^2\theta}

…… 2 точки

a = 23\ \mathrm{m/s^2}

………………1 точка

Оригинал в Архива: 1999_rep_1011.pdf