Съдържание

НОФ 1999, III кръг (национален), 10–11 клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1999

Министерство на образованието и науката. Централна комисия за провеждане на олимпиадата по физика. ТЕМА за републиканския (трети) кръг на олимпиадата по физика за 10. и 11. клас, 24 април 1999 година · 24 април 1999 г. · 10 т.

Условие

Цилиндър с напречно сечение $S = 39\ \mathrm{cm^2}$ и маса $m = 1\ \mathrm{kg}$ е прикрепен към идеална пружина с пренебрежимо малка маса с коефициент на еластичност $k = 25\ \mathrm{N/m}$ . Другият край на пружината е свързан към дъното на съд, пълен с вода. Плътността на цилиндъра е два пъти по-малка от плътността на водата $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ . В равновесното положение горната основа на цилиндъра е на равнището на водата (фиг. 2).

Съд с вода (стената е показана щриховано), на чието дъно е закрепена вертикална пружина; на горния край на пружината е закачен тъмен цилиндър, чиято горна основа е на нивото на водата. — Фиг. 2

а) Колко сантиметра е деформацията на пружината в равновесното положение? [2 т.]

Натискат цилиндъра, така че горната му основа да се потопи на дълбочина $h_1 = 2\ \mathrm{cm}$ , и го освобождават.

б) Опишете движението на цилиндъра. (Цилиндърът не се накланя и се движи само във вертикално направление). [2 т.]

в) Колко е максималната му скорост? [1 т.]

г) На каква максимална височина $h_2$ над повърхността на водата ще се издигне горната основа на цилиндъра? [2 т.]

д) Определете максималното ускорение на цилиндъра. [1 т.]

е) Колко секунди след освобождаването той ще достигне височината $h_2$ ? [2 т.]

Земното ускорение приемете за $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Силите на съпротивление и движението на водата около цилиндъра не се отчитат.

Отговори

Решение

а) На цилиндъра действат три сили: силата на тежестта $mg$ , изтласкваща сила $2mg$ и еластична сила $kx$ .

В равновесното положение

kx_0 + mg = 2mg,

откъдето определяме деформацията $x_0$ на пружината

x_0 = mg/k = 40\ \mathrm{cm}

……..2 точки

б) Когато цилиндърът е изцяло потопен във водата, изтласкващата сила е постоянна и той извършва хармонично трептене със същия период $T_1$ , както пружинно махало

T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

Когато част от цилиндъра е над повърхността на водата, архимедовата сила е променлива – тя намалява с $g\rho S\Delta x$ , където $\Delta x$ е отклонението от равновесното положение. При отклонение на цилиндъра нагоре от равновесното му положение възниква връщаща сила

F = -k\Delta x - g\rho S\Delta x = -(k + g\rho S)\Delta x

и той извършва хармонично трептене с период

T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k + \rho gS}}.

Следователно движението е хармонично трептене, като при всяко преминаване през равновесното положение се променя периодът и честотата (от $T_1$ на $T_2$ и обратно)………………………2 точки

в) Цилиндърът се движи с максимална скорост, когато преминава през равновесното си положение. От закона за запазване на механичната енергия при хармоничното трептене определяме максималната скорост

v_{\max} = h_1\sqrt{\frac{k}{m}} = 0{,}1\ \mathrm{m/s}

….1 точка

г) Трептенето с период $T_2$ се характеризира със същата максимална скорост $v_{\max} = 0{,}1\ \mathrm{m/s}$ , както трептенето с период $T_1$ .

Следователно

h_2 = \frac{v_{\max}T_2}{2\pi} = v_{\max}\sqrt{\frac{m}{(k + g\rho S)}} = 1{,}25\ \mathrm{cm}

……………………2 точки.

д) Ускорението е максимално, когато цилиндърът достигне най-високото си положение, защото тогава връщащата сила е максимална

a_{\max} = \frac{(k + g\rho S)h_2}{m} = 0{,}8\ \mathrm{m/s^2}

……1 точка

е) След освобождаването цилиндърът достига равновесното си положение за време $T_1/4$ и след това за време $T_2/4$ се издига на максималната височина $h_2$ . Следователно търсеното време е

t = \frac{T_1}{4} + \frac{T_2}{4} = \frac{\pi}{2}\left(\sqrt{\frac{m}{k}} + \sqrt{\frac{m}{k + g\rho S}}\right) = 0{,}51\ \mathrm{s}

………………….2 точки

Оригинал в Архива: 1999_rep_1011.pdf