Съдържание

НОФ 1999, III кръг (национален), 10–11 клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1999

Министерство на образованието и науката. Централна комисия за провеждане на олимпиадата по физика. ТЕМА за републиканския (трети) кръг на олимпиадата по физика за 10. и 11. клас, 24 април 1999 година · 24 април 1999 г. · 10 т.

Условие

Върху хоризонтална равнина във вертикално еднородно магнитно поле с индукция $B$ са разположени две успоредни метални релси на разстояние $L$ една от друга.

Перпендикулярно върху релсите е поставена неподвижна пръчка с маса $m$ и съпротивление $R$ . Релсите са свързани към източник с постоянно електродвижещо напрежение $\varepsilon$ . Електричното съпротивление на релсите, вътрешното съпротивление на източника и триенето се пренебрегват. В даден момент затварят ключа К (фиг. 3) и пръчката започва да се движи надясно.

Две хоризонтални успоредни релси, свързани отляво чрез ключ K с източник ε; перпендикулярно върху тях лежи пръчка с маса m и съпротивление R. Точките означават магнитното поле с индукция B, перпендикулярно на равнината на чертежа. — Фиг. 3

а) Как е насочена магнитната индукция на полето (вертикално нагоре или надолу)? [1 т.]

б) Определете ускорението на пръчката непосредствено след затварянето на ключа К. [2 т.]

в) Изразете връзката между тока в контура и скоростта на пръчката. [2 т.]

г) Определете максималната скорост $v_{\max}$ , която ще достигне пръчката. Как ще се движи пръчката, след като достигне максималната си скорост? [2 т.]

д) Заменят източника с кондензатор с капацитет $C$ , който първоначално има заряд $q_0$ . Пръчката е неподвижна, а ключът е отворен. Определете максималната скорост $v_{\max}$ , която ще достигне пръчката след затварянето на ключа К. [3 т.]

Отговори

Решение

а) Магнитната сила трябва да е насочена надясно. Тогава по правилото на дясната ръка определяме, че магнитната индукция е насочена вертикално надолу………………1 точка

б) В началния момент токът през пръчката е $I = \varepsilon/R$ . Магнитната сила е $F = BLI$ . Ускорението определяме от уравнението на втория принцип на механиката

a = \frac{F}{m} = \frac{BL\varepsilon}{mR} \qquad (1)

………2 точки

в) За време $\Delta t$ магнитният поток през площта, оградена от токовия контур, нараства с $\Delta\Phi = B(Lv\Delta t)$ . Големината на индуцираното електродвижещо напрежение определяме от закона на Фарадей:

\varepsilon_{\text{и}} = \Delta\Phi/\Delta t = BLv.

Съгласно с правилото на Ленц индуцираното в движещата се пръчка ЕДН намалява тока, който тече през пръчката. Следователно законът на Ом за цялата верига в случая се записва във вида:

\varepsilon - \varepsilon_{\text{и}} = RI.

След като заместим $\varepsilon_{\text{и}}$ получаваме

\varepsilon - BLv = RI \qquad (2)

………2 точки

г) От уравнение (2) се вижда, че скоростта на пръчката ще достигне максималната си стойност, когато токът през нея стане равен на нула. Следователно:

v_{\max} = \varepsilon/BL \qquad (3)

……….1 точка

При $I = 0$ $F = 0$ и от този момент нататък пръчката се движи праволинейно и равномерно със скорост $v_{\max}$ . …..1 точка

д) В този случай отново пръчката достига максималната си скорост, когато токът през нея стане равен на нула, т.е. когато големината на индуцираното ЕДН стане равна на напрежението $q_{\min}/C$ на кондензатора ( $q_{\min}$ е минималната стойност, която достига зарядът на кондензатора – след като токът стане нула, кондензаторът престава да се разрежда). Следователно

\frac{q_{\min}}{C} = BLv_{\max}. \qquad (4)

Записваме уравнението на втория принцип на механиката за движението на пръчката

ma = m\frac{\Delta v}{\Delta t} = BLI = BL\left(-\frac{\Delta q}{\Delta t}\right) \qquad (5)

или

\Delta v = -\frac{BL}{m}\Delta q \qquad (6)

където знакът минус показва, че зарядът на кондензатора намалява. Изменението на скоростта е правопропорционално на изменението на заряда, независимо от това колко голям е интервалът от време $\Delta t$ . Тази пропорционалност се запазва и при цялостното изменение на заряда и на скоростта. Скоростта нараства от нула до $v_{\max}$ . За същото време зарядът намалява от $q_0$ до $q_{\min}$ . Следователно

v_{\max} - 0 = -\frac{BL}{m}(q_{\min} - q_0) \qquad (7)

Заместваме $q_{\min}$ от уравнение (7) в (4) и изразяваме търсената скорост

v_{\max} = \frac{q_0BL}{m + CB^2L^2} \qquad (8)

……….3 точки

Всяка задача се оценява максимално с по 10 точки.

Оригинал в Архива: 1999_rep_1011.pdf