Съдържание

НОФ 1999, Национално състезание — Задача 2. Интерференция от оптична и от електронна бипризма

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1999

Национално състезание по ФИЗИКА Шумен 1999 година — ТЕМА · 10 т.

Условие

1. На фиг. 2 е показан един от класическите опити за наблюдаване интерференция на светлината (бипризма на Френел). Точков източник $S$ на монохроматична светлина с дължина на вълната $\lambda = 550\ \mathrm{nm}$ е разположен върху оста на симетрия на тънка бипризма (две еднакви призми с обща основа и малък пречупващ ъгъл $\beta = 0{,}25^{\circ}$ ) на разстояние $a = 0{,}25\ \mathrm{m}$ от бипризмата. Пречупените от двете части на бипризмата светлинни вълни интерферират и върху екран, разположен на разстояние $b = 2{,}0\ \mathrm{m}$ зад бипризмата, се наблюдава интерференчна картина.

Схема на опита с бипризма на Френел: точков източник S на оста, на разстояние a — тънка бипризма с пречупващи ъгли β, на разстояние b зад нея — вертикален екран. — Фиг.2

Електронна бипризма: кух цилиндър, разделен на две части с процеп, по оста му е опъната тънка жица; наклонена права от източника S пресича процепа; двете части на цилиндъра са свързани с проводник към земя. — Фиг.3.

Напречно сечение на апаратурата: източник S в равнината σ, на разстояние a под нея — жицата (означена „Жица“), на разстояние b под жицата — екранът (означен „Екран“); лъчите от S се отклоняват от жицата на ъгъл α, продълженията им са пунктирани. — Фиг.4.

1а) Постройте недействителните образи $S_1$ и $S_2$ на източника от двете части на бипризмата и определете разстоянието $d$ между тях. [2 т.]

1б) Разгледайте образите $S_1$ и $S_2$ като кохерентни източници на светлина и определете широчината $\Delta x$ на интерференчните ивици, които се наблюдават върху екрана (разстоянието между два съседни интерференчни максимума). [3 т.]

Указание. Всяка половинка от бипризмата отклонява лъчите на малък ъгъл

\alpha = (n-1)\beta,

където $n = 1{,}5$ е показателят на пречупване на стъклото.

2. На фиг. 3. е показан електронен аналог на бипризмата на Френел. Тънка проводяща жица с радиус $r_1 = 0{,}40\ \mu\mathrm{m}$ е опъната по оста на кух метален цилиндър с вътрешен радиус $r_2 = 1{,}00\ \mathrm{mm}$ и дължина много по-голяма от $r_2$ . Цилиндърът е разделен на две части от равнина, перпендикулярна на неговата ос. Двете части са свързани с проводник и са заземени, докато вътрешната жица се поддържа при постоянен положителен потенциал $\varphi = 10{,}0\ \mathrm{V}$ спрямо земята.

Тънък сноп от електрони, всички с еднаква скорост $v_0$ , получена след ускоряване от напрежение $U = 100\ \mathrm{kV}$ (всички релативистки ефекти в тази задача се пренебрегват), е насочен перпендикулярно на жицата, така че средата на снопа пресича оста на симетрия на системата и преминава през средата на процепа между цилиндрите. Снопът може да се разглежда като излизащ от точков източник $S$ , разположен върху равнина $\sigma$ на растояние $a = 100\ \mathrm{mm}$ от централната жица. След това електроните попадат върху екран, разположен на разстояние $b = a = 100\ \mathrm{mm}$ от другата страна на жицата.

Всички електрони, които преминават близо до централната жица, се отклоняват от електричното поле на един и същ ъгъл $\alpha$ , който с приближение се изразява с формулата (в радиани)

\alpha = \frac{\pi}{2}\frac{\varphi}{U}\frac{1}{\ln\frac{r_2}{r_1}}.

Напречното сечение на апаратурата е показано схематично на фиг. 4.

2а) Пресметнете стойността на ъгъла на отклонение $\alpha$ . [1 т.]

2б) С подходяща схема покажете, че описаната система е електронен аналог на оптичната бипризма. Постройте недействителните образи $S_1$ и $S_2$ на източника $S$ и определете разстоянието $d$ между тях. [1 т.]

2в) Определете широчината $\Delta x$ на интерференчните ивици, които се наблюдават върху екрана. [3 т.]

Отговори

Решение

1а) Образът на източника във всяка от двете половинки на бипризмата може да се построи с помощта на два лъча: единият минава през центъра на бипризмата, а другият - близо до върха на пречупващия ъгъл (фиг. 1). Тъй като след пречупването двата лъча се отклоняват на еднакъв ъгъл $\alpha$ , техните продължения сключват същия ъгъл $\gamma$ , както лъчите, излизащи от източника. Следователно образите също се намират на разстояние $a$ зад бипризмата, но са отместени на разстояние $\alpha a$ от оста на симетрия на опитната постановка

d = 2\alpha a = 2(n-1)\beta a = 1{,}1\ \mathrm{mm}

[2 точки]

1б) Кохерентните източници се намират на разстояние $L = a + b$ от екрана. Широчината на интерференчните ивици е

\Delta x = \frac{L}{d}\lambda = 1{,}1\ \mathrm{mm}

[3 точки]

2а) $\alpha = 2{,}01.10^{-5}\ \mathrm{rad}$ [1 точка]

2б) Схемата е показана на фиг. 2

d = 2\alpha a = 4{,}0\ \mu\mathrm{m}

[1 точка]

2в) От закона за запазване на енергията $eU = p^2/2m_e$ определяме импулса на електрона $p = \sqrt{2em_eU}$ . Дължината на вълната на Дьо Бройл на електроните е

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2em_eU}} = 3{,}88.10^{-12}\ \mathrm{m}

[1 точка]

\Delta x = \frac{L}{d}\lambda = 0{,}193\ \mu\mathrm{m}

[2 точки]

Оригинал в Архива: 1999_ns_shumen.pdf