Съдържание

НОФ 1999, Национално състезание — Задача 3. Електрон, захванат от тежко ядро

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1999

Национално състезание по ФИЗИКА Шумен 1999 година — ТЕМА · 10 т.

Условие

а) Радиусът на атомното ядро може да се оцени с помощта на емпиричната формула $r = r_0A^{\frac{1}{3}}$ , където $r_0 = 1{,}2.10^{-15}\ \mathrm{m}$ , $A$ е масовото число. Ако кулоновите сили, с които протоните от ядрото действат на електрон, бяха в състояние да задържат електрона в ядрото, електронът би имал много голяма кинетична енергия. Като използвате съотношението за неопределеност $pr \approx \hbar$ , където $\hbar = h/2\pi$ е константата на Планк, а $p$ е импулсът на електрона, оценете колко пъти кинетичната енергия на електрон, захванат от ядро с масово число $A = 300$ , е по-голяма от енергията на покой на електрона. [4 т.]

б) Като приемете, че електричното поле вътре в атомното ядро е кулоново, изразете пълната енергия на електрон $E(r)$ , който се намира в ядро с пореден номер $Z$ ( $r$ е разстоянието от електрона до силовия център на кулоновото поле, т.е. до центъра на ядрото). За целта използвайте т.нар. константа на фината структура

\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} = \frac{1}{137},

където $e$ е елементарния заряд, $\varepsilon_0$ е електричната константа, а $c$ е скоростта на светлината. [4 т.]

Указание. Отчетете, че електронът е ултрарелативистки, т.е. кинетичната му енергия е много по-голяма от енергията му на покой.

в) Оценете, в рамките на разглеждания опростен модел, при какъв пореден номер $Z$ ядрото на трансуранов елемент би могло да задържи в себе си за продължително време електрон. (Ако разбира се подобно ядро можеше да съществува достатъчно дълго време без да се разпадне). [2 т.]

Полезни константи

Заряд на електрона $e = 1{,}6.10^{-19}\ \mathrm{C}$ ,

Маса на електрона $m_e = 9{,}1.10^{-31}\ \mathrm{kg}$ ,

Константа на Планк $h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ .

\hbar = h/2\pi = 1{,}05.10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}

Скорост на светлината $c = 3.10^{8}\ \mathrm{m/s}$ .

Отговори

Решение

а) Радиусът на ядро с масово число $A = 300$ е $r = r_0A^{\frac{1}{3}} = 8.10^{-15}\ \mathrm{m}$ [1 точка]

Кинетичната енергия на релативистки електрон е

E_k = \sqrt{p^2c^2 + (m_ec^2)^2} - m_ec^2

[1 точка]

Импулсът на електрона определяме от съотношението за неопределеност $p = \frac{\hbar}{r}$ и го заместваме във формулата за $E_k$ . Търсеното отношение е

\frac{E_k}{m_ec^2} = \frac{\sqrt{\frac{\hbar^2}{r^2}c^2 + (m_ec^2)^2} - m_ec^2}{m_ec^2} \approx 50\ \text{пъти}

[2 точки]

б) Кинетичната енергия на ултрарелативистки електрон е

E_k = \sqrt{p^2c^2 + (m_ec^2)^2} - m_ec^2 \approx pc \approx \frac{\hbar c}{r}

[2 точки]

Пълната енергия на електрона е

E(r) = -\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r} + \frac{\hbar c}{r}

[1 точка]

E(r) = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}(137 - Z)\frac{1}{r}

[1 точка]

в) За да съществува свързано състояние, пълната енергия на системата трябва да е отрицателна: $E(r) \lt 0$ . [1 точка]

Следователно в рамките на разглеждания модел свързано състояние на електрона вътре в атомното ядро би било възможно при $Z \gt 137$ . [1 точка]

Забележка. По-точните пресмятания показват, че електрон може да има свързано състояние в ядро с атомен номер $Z \gt 150$ , ако разбира се трансураново ядро с толкова голям номер изобщо може да съществува.

Оригинал в Архива: 1999_ns_shumen.pdf