Съдържание

НОФ 2000, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2000

ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО ФИЗИКА · ТЕМА · за Републиканския (трети) кръг на олимпиадата по физика · 10. -12. клас, 23 април 2000 година · 10 т.

Условие

Еднороден куб е завързан с нишка към вертикална стена (опора), както е показано на фиг. 2. Нишката е прикрепена към средата на горния хоризонтален ръб на куба. Коефициентът на триене между куба и стената е $k = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Куб (защрихован квадрат), опрян с лявата си стена във вертикална стена; нишка от средата на горния му ръб до стената сключва със стената ъгъл α. — Фиг.2.

Фиг.3 а: количка на колела върху хоризонтална повърхност, върху нея куб; стрелка a надясно; под рисунката надпис „а“. — Фиг.3.

Фиг.3 б: количка на колела със стрелка g/2 надясно; върху нея опора с двустранен лост, на чиито краища стоят два куба с плътности ρ₂ (ляво) и ρ₁ (дясно) и ръб d; външните ръбове на кубовете са на разстояние ℓ от опората (размери ℓ и ℓ отгоре); под рисунката надпис „б“. — Фиг.3.

а) (4 точки) При какви стойности на ъгъла $\alpha$ цялата стена на куба ще е в контакт с вертикалната опора? [4 т.]

б) (2 точки) Еднороден куб е поставен върху количка (фиг. 3а), която се движи по хоризонтална равнина с ускорение $a$ . При каква стойност на ускорението $a$ кубът ще се преобърне? Триенето между куба и количката е голямо, така че той не се хлъзга по нейната повърхност. [2 т.]

в) (4 точки) По хоризонтална повърхност се движи количка с ускорение $g/2$ . На количката върху двустранен лост са поставени, както е показано на фиг. 3б, два еднородни куба с еднакви размери, които са направени от различен материал. Определете отношението $\rho_1/\rho_2$ на плътностите на двата куба, ако е известно, че лостът е в равновесие, а кубовете са неподвижни спрямо лоста и количката. Ръбовете на двата куба имат дължина $d$ . Външните ръбове на кубовете се намират на еднакво разстояние $\ell$ от опората на лоста. [4 т.]

Земното ускорение е $g$ .

Указание. За да се движи твърдо тяло постъпателно, трябва алгебричната сума от въртящите моменти на действащите му сили спрямо осите на въртене, преминаващи през центъра на масите (тежестта) на тялото, да е равна на нула. Когато тялото е в покой, това условие за моментите е в сила за всички неподвижни оси на въртене.

Отговори

Решение

а) На фиг. 1 са показани силите, които действат на куба. Разстоянието $x$ от приложната точка на силата на реакция на опората $N$ до горния ръб на куба може да се изменя от $x = d$ до $x = 0$ . От условието кубът да не се движи постъпателно следват уравненията:

$T_y + f = mg$ ; и $T_x = N$ .........1 точка

За да не се завърти кубът около ръба $A$ , трябва да се изпълнява условието за въртящите моменти:

$T_y d + Nx = mgd/2$ .........1 точка

Като отчетем, че силата на триене на покой не може да е по-голяма от $\kappa N$ , т.е. $f \leq \kappa T_x$ , и че $x \geq 0$ , получаваме неравенствата: $T_y + \kappa T_x \geq mg$ ; $mg \geq 2T_y$ , откъдето следва:

tg\alpha = \frac{T_x}{T_y} \geq \frac{1}{k} = \sqrt{3};\quad \alpha \geq 60^{\circ}

.........2 точки

б) Силите, които действат на куба в инерциалната отправна система, са показани на фиг. 2. От втория принцип на механиката следват равенствата $N = mg$ , $f = ma$ . От условието за въртящите моменти спрямо оста $O$ , минаваща през центъра на куба, следва равенството

$Nx = f(d/2)$ или $mgx = mad/2$ .

Тъй като приложната точка на силата на реакция на опората $N$ не може да излезе извън основата на куба, то $x \leq d/2$ . От уравнението за въртящите моменти следва, че при $a = g$ ; $x = d/2$ .

При $a > g$ кубът се преобръща под действие на въртящия момент на силата на триене.........2 точки

Забележка. Задачата може да се реши и в неинерциална отправна система, в която кубът е в покой.

в) Приложните точки на теглото $P$ (фиг. 2) на двата куба също се отместват на разстояние $x$ от централната ос $O$ на кубовете. При $a = g/2$ от уравнението на въртящите моменти следва, че $x = d/4$ .........1 точка

Условието за равновесие на лоста е

\rho_1 d^3 g\left(\ell - \frac{d}{2} - \frac{d}{4}\right) = \rho_2 d^3 g\left(\ell - \frac{d}{2} + \frac{d}{4}\right)

.........2 точки

Отношението на плътностите на двата куба е

\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{\ell - \frac{d}{4}}{\ell - \frac{3d}{4}}

.........1 точка

Сили върху куба, завързан към стената: сила на нишката T с компоненти T_x и T_y (пунктир), сила на триене f нагоре и реакция N хоризонтално при ръба A на разстояние x под горния ръб, тегло mg надолу, приложено на разстояние d/2 от стената. — Фиг.1.

Куб върху хоризонтална платформа, движеща се с ускорение a надясно: реакция N нагоре на разстояние x наляво от центъра O, тегло mg надолу от центъра, сила на триене f надясно по основата, сила P надолу под точката на приложение на N. — Фиг.2.

Оригинал в Архива: 2000_reg_1012.pdf