Съдържание

НОФ 2000, III кръг (национален) — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2000

НАЦИОНАЛЕН КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО ФИЗИКА, 19-20 май 2000 г., гр. Стара Загора · 19 май 2000 г.

Условие

Електрон се притиска към повърхността на течен хелий от хомогенно електростатично поле с интензитет $\mathcal{E} = 100\ \mathrm{V/cm}$ , перпендикулярно на повърхността на хелия. Същевременно електронът не може да проникне в хелия (независимо от неговата енергия) и когато достига повърхността му се отразява от нея, т.е. на повърхността на хелия потенциалната енергия на електрона става безкрайно голяма.

а) Да се покаже, че електронът се намира в потенциална яма;

б) Да се намери средното състояние на електрона от повърхността на хелия в състояние с минимална енергия;

в) Да се определи минималната енергия на електрона в близост до повърхността на хелия.

Масата на електрона е $m = 9{,}1.10^{-31}\ \mathrm{kg}$ , а неговият заряд по големина $q = 1{,}6.10^{-19}\ \mathrm{C}$ .

Отговори

Решение

а) Нека насочим оста $Ox$ перпендикулярно на повърхността на хелия. Силата $F = q\varepsilon$ е насочена към повърхността. Тогава използвайки аналогията със силата на тежестта, за потенциалната енергия на електрона можем да запишем:

V(x) = \begin{cases} \infty, & x < 0 \\ q\varepsilon x, & x > 0 \end{cases},

Графично потенциалната енергия е представена на фигурата и представлява потенциална яма:

б) Електронът е квантов обект и средното разстояние при минимална енергия се оценява чрез съотношенията за неопределеност. Пълната енергия на електрона е:

E = \frac{p^2}{2m} + q\varepsilon x.

Нека приемем неопределеността в положението на електрона при тази енергия $\Delta x = x_0$ . Тогава:

$p \propto \hbar/\Delta x = \hbar/x_0$ .

Следователно:

E = \frac{\hbar^2}{2mx_0^2} + q\varepsilon x_0.

Минималната енергия се достига при $E'(x_0) = -\frac{\hbar^2}{mx_0^3} + q\varepsilon = 0$ и следователно:

x_0 = \left(\frac{\hbar^2}{mq\varepsilon}\right)^{1/3} \approx 9\ \mathrm{A}.

в) Минималната енергия на електрона в близост до повърхността на хелия е:

E_{\min} = \frac{3}{2}\left(\frac{\hbar^2 q^2 \varepsilon^2}{m}\right)^{1/3} \approx 0{,}2\ \mathrm{meV}.

Графика на потенциалната енергия V(x): при x < 0 защрихована безкрайна стена по оста V(x), при x > 0 права линия, растяща от началото O; хоризонтална пунктирна линия на ниво E я пресича при x₀, от където пунктир слиза до оста x.

Оригинал в Архива: 2000_rep.pdf