Съдържание

НОФ 2000, III кръг (национален) — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2000

НАЦИОНАЛЕН КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО ФИЗИКА, 19-20 май 2000 г., гр. Стара Загора · 19 май 2000 г.

Условие

Мюонът е елементарна частица с единичен, елементарен, електричен заряд. Свободният мюон е нестабилен и притежава, в състояние на покой, време на полуразпадане $\tau = 1{,}5.10^{-6}\ \mathrm{s}$ . От ускорител излиза успореден сноп мюони със скорост $v = 0{,}8\,c$ , където $c$ е скоростта на светлината във вакуум.

а) На какво разстояние, по посока на движението на снопа, концентрацията на мюони намалява 8 пъти.

б) При навлизане във вещество, мюоните ( $\mu^-$ ) взаимодействат с протоните ( $p^+$ ) в атомните ядра посредством реакцията:

\mu^- + p^+ \to n + \nu

където с $n$ е означен неутрон, а с $\nu$ - неутрино, което е елементарна частица с нулев заряд и нулева маса в покой. Ако предположите, че неутриното се излъчва в посоката на движение на падащите мюони, определете големината и посоката на скоростта на отделения неутрон, в единици $c$ .

Данни:

Маса в покой на мюона: $m_\mu = 1{,}884.10^{-28}\ \mathrm{kg}$

Маса в покой на протона: $m_p = 1{,}672.10^{-27}\ \mathrm{kg}$

Маса в покой на неутрона: $m_n = 1{,}675.10^{-27}\ \mathrm{kg}$

Скорост на светлината във вакуум: $c = 2{,}998.10^{8}\ \mathrm{m/s}$ .

Отговори

Решение

а) Времето на полуразпадане в лабораторната отправна система е по-голямо, от това в покой, поради релативистично удължение на времевите интервали:

\tau' = \tau/\sqrt{1 - v^2/c^2}.

От дадена група $N_0$ мюони, след време $t$ ще останат неразпаднали се $N = N_0/2^{\frac{t}{\tau'}} = N_0/2^{\frac{x}{v\tau'}}$ , където $x$ е изминатият от мюоните път. Тъй като $N_0/N = 8$ , следва, че $\frac{x}{v\tau'} = 3$ , откъдето:

x = 3.v.\tau/\sqrt{1 - (v/c)^2} = 1800\ \mathrm{m}.

б) При реакцията са изпълнени законите за запазване на импулса:

m_\mu v/\sqrt{1 - (v/c)^2} = p_\nu + m_n v_1/\sqrt{1 - (v_1/c)^2} \qquad (1)

и на пълната енергия:

m_\mu c^2/\sqrt{1 - (v/c)^2} + m_p c^2 = E_\nu + m_n c^2/\sqrt{1 - (v_1/c)^2} \qquad (2)

където $p_\nu$ и $E_\nu$ са съответно импулса и енергията на неутриното, а $v_1$ е търсената скорост на неутрона. Тъй като неутриното има нулева маса на покой, между енергията и импулса е изпълнено съотношението: $p_\nu = E_\nu/c$ . Като изключим енергията на неутриното от уравнение (2) и заместим импулса в уравнение (1), получаваме:

\sqrt{\frac{c - v_1}{c + v_1}} = \frac{m_p}{m_n} + \frac{m_\mu}{m_n}\sqrt{\frac{c - v}{c + v}} = k = 1{,}0357

откъдето:

v_1 = c\,\frac{1 - k^2}{1 + k^2} \approx c(1 - k) = -0{,}0357c.

Знакът “-” показва, че скоростта на неутрона е насочена назад, спрямо посоката на излъчване на неутриното.

Оригинал в Архива: 2000_rep.pdf