Съдържание

НОФ 2000, III кръг (национален) — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2000

НАЦИОНАЛЕН КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО ФИЗИКА, 19-20 май 2000 г., гр. Стара Загора · 19 май 2000 г.

Условие

С един mol идеален, едноатомен газ с начално налягане $2p_0$ и обем $V_0$ се извършва свободно адиабатно разширение (т.е. разширение във вакуум) до обем $2V_0$ . След това газът се свива изобарно от обем $2V_0$ до обем $V_0$ . Накрая газът се нагрява при постоянен обем, докато неговото налягане се изравни с началното.

а) Представете графично цикличния процес на $p$ - $V$ диаграма. Обърнете специално внимание на процеса 1-2 (свободно адиабатно разширение);

б) Докажете с помощта на този цикъл съотношението на Майер, т.е. $C_p - C_V = R$ , където $C_p$ и $C_V$ са моларните топлинни капацитети при постоянно налягане и постоянен обем на газа;

в) Процесът 1-2 се заменя с процес, чиято графика на $p$ - $V$ диаграмата е отсечка свързваща състоянията 1 и 2. Определете топлинния капацитет за този процес.

г) Намерете стойностите на обема, при който изотермата и адиабатата се допират до графиката на процеса 1-2.

Отговори

Решение

а) Ще определим налягането на състояние 2. От първия принцип на термодинамиката, за процеса на свободно адиабатно разширение имаме:

\Delta U = Q + A.

Тъй като $Q = 0$ (адиабатно разширение), $A = 0$ (външното налягане е нула) следва $\Delta U = 0$ . Вътрешната енергия на идеалния газ зависи само от температурата и следователно в състояние 2 газът има същата температура, както в състояние 1. Следователно

б) За цикличния процес 1-2-3 изменението на вътрешната енергия $\Delta U = 0$ и следователно

Q + A = 0

Тъй като $Q_{23} = c_p(T_3 - T_2)$ , $Q_{31} = c_V(T_1 - T_3)$ , $A_{23} = -p_0(V_0 - 2V_0) = p_0V_0$ , намираме

c_p(T_3 - T_1) + c_V(T_1 - T_3) + p_0V_0 = 0.

Освен това $p_0V_0 = R(T_1 - T_3)$ (използваме уравнението на състоянието) и следователно

c_p - c_V = R.

в) На фигурата е показан процесът 1-2.

Топлинният капацитет се определя по формулата:

c = c_V + p\left(\frac{\Delta V}{\Delta T}\right),

където $\Delta V$ и $\Delta T$ са малки изменения на обема и температурата. Уравнението на процеса е

p = \alpha V + \beta

където $\alpha = -p_0/V_0$ , $\beta = 3p_0$ . Тогава

T = \frac{p_0}{R}\left(3V - \frac{V^2}{V_0}\right)

и следователно

\Delta T = \frac{p_0}{R}\left(3 - 2\frac{V}{V_0}\right)\Delta V,

Окончателно определяме:

c = c_V + R\,\frac{3 - V/V_0}{3 - 2V/V_0} = R\,\frac{15/2 - 4V/V_0}{3 - 2V/V_0}.

г) При изотермен процес $c \to \infty$ , при адиабатен $c = 0$ . Следователно стойността на обема, при който изотермата допира графиката на процеса 1-2 е $V' = \frac{3}{2}V_0$ , а допирната точка между адиабатата и процеса е $V'' = \frac{15}{8}V_0$ .

p-V диаграма на цикъла: точка 1 при (V₀, 2p₀), точка 2 при (2V₀, p₀), точка 3 при (V₀, p₀); процесът 1-2 е начертан пунктирно, 2-3 е хоризонтална изобара, 3-1 е вертикална изохора. По осите са означени p, 2p₀, p₀, V₀, 2V₀, V.

p-V диаграма на процеса 1-2 като права отсечка от точка 1 (V₀, 2p₀) до точка 2 (2V₀, p₀), с пунктирни помощни линии до осите; означени са p, 2p₀, p₀, V₀, 2V₀, V.

Оригинал в Архива: 2000_rep.pdf