Съдържание

НОФ 2001, I кръг (училищен), 10–12 клас, София — Задача 1

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2001

Тема за 10-12 клас — София-град · 31 март 2001 г. · 9 т.

Условие

Трупче с маса $m_1=1\ \mathrm{kg}$ се хлъзга върху дъска с маса $m_2=2\ \mathrm{kg}$ , която лежи върху повърхност, сключваща ъгъл $30^\circ$ с хоризонта. Коефициентът на триене между трупчето и дъската е $k_1=0{,}1$ , а между дъската и повърхността е $k_2=0{,}2$ . Определете:

а/ ускорението на трупчето спрямо дъската;

б/ ускорението на дъската спрямо повърхността;

в/ коефициентът на триене $k_3$ , при който дъската няма да се движи.

Приемете земното ускорение за $10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Решение

Оригиналният чертеж на силите с наличните ръкописни означения.

а/ За трупчето:

\vec G_1+\vec N_1+\vec f_1=m_1\vec a_1.\qquad(1\ \text{точка})

За разлагане по осите:

по $x$ : $G_{1x}-k_1N_1=m_1a_1$

по $y$ : $-G_{1y}+N_1=0\Rightarrow G_{1y}=N_1$ . (1 точка)

След заместване на $N_1$ и преобразувания се получава $a_1=g(\sin\alpha-k_1\cos\alpha)$ и числен резултат $a_1\approx4{,}13\ \mathrm{m/s^2}$ . (1 точка)

За дъската:

\vec G_2+\vec P+\vec f_2+\vec f_1+\vec N_2=m_2\vec a_2.\qquad(1\ \text{точка})

За разлагане по осите: по $x$ :

(1)\qquad G_{2x}+f_1-f_2=m_2a_2

по $y$ : $-G_{2y}+N_2-P=0\Rightarrow$

(2)\qquad N_2=P+G_{2y}=g\cos\alpha(m_1+m_2).\qquad(1\ \text{точка})

След заместване на (2) в (1) и допълнителни преобразувания:

a_2=\frac g{m_2}[m_2\sin\alpha+k_1m_1\cos\alpha-k_2(m_1+m_2)\cos\alpha].\qquad(1\ \text{точка})

За числен резултат: $a_2\approx2{,}9\ \mathrm{m/s^2}$ . (1 точка)

б/ $a_2=0$ ;

\Rightarrow m_2g\sin\alpha+k_1m_1g\cos\alpha-k_3g\cos\alpha(m_1+m_2)=0.\qquad(1\ \text{точка})

откъдето:

k_3=\frac{m_2\sin\alpha+k_1m_1\cos\alpha}{\cos\alpha(m_1+m_2)}

и за числена стойност: $k_3\approx0{,}4$ . (1 точка)

Задачата се оценява максимално с 9 точки.

ЗАБЕЛЕЖКА:

Разрешава се ползването на непрограмируеми калкулатори.

Относно „УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ за оценяване на задачите“:

предложените решения са примерни
признават се всички варианти на решения, които достигат до верен отговор;

Оригинал в Архива: 10-11-var1_zad.jpg · официални решения: 10-11-var1_resh.jpg