НОФ 2001, II кръг (областен), 10. клас — Задача 1

• а) Силата на тежестта $\vec{G}$, силата на нормална реакция на опората $\vec{R}$ и силата на триене $\vec{f}$.

• б) $a \approx 3{,}2\ \mathrm{m/s^2}$, $v_1 \approx 18\ \mathrm{m/s}$

• в) 11.4 m

  В официалното решение стойността е поправена на ръка на „11,4 m“.

а) Силите са изобразени на фиг.1. Това са: силата на тежестта $\vec{G}$, силата на нормална реакция на опората $\vec{R}$ и силата на триене $\vec{f}$ (1 т).

б) Уравненията за движение по осите X и Y на координатната система са

по X: $ma = mg\sin\alpha - f$ (1)

и

по Y: $0 = R - mg\cos\alpha$. (2) (2 т).

Между $f$ и $R$ съществува следната връзка:

(3) $f = kR = kmg\cos\alpha$ (1 т).

След заместване в уравнение (1) получаваме:

(4) $a = g(\sin\alpha - k\cos\alpha) = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}(1/2 - 0{,}2.\sqrt{3}/2) \approx 3{,}2\ \mathrm{m/s^2}$ (1 т).

При равноускорително движение, с нулева начална скорост, е в сила съотношението:

(5) $v_1 = \sqrt{2al} = \sqrt{2.6{,}4\ \mathrm{m/s^2}\ .\ 50\ \mathrm{m}} \approx 18\ \mathrm{m/s}$ (1 т).

в) Ще изберем координатна система O’X’Y’, чиито оси са насочени хоризонтално и вертикално, а началото O’ е разположено в горния ръб на скалата. Скиорът започва свободно падане с начална скорост $v_1$, която е насочена надолу, под ъгъл $\alpha$ спрямо оста O’X’. Законите за движение по двете координатни оси са:

$x' = v_1 t\cos\alpha$

$y' = v_1 t\sin\alpha + gt^2/2$ (2 т).

В момента на падане е изпълнено съотношението:

$y' - h = x'\,\mathrm{tg}\alpha$ или $gt^2/2 = h$ (1 т),

откъдето определяме времето за полет:

От фигурата се вижда, че в момента на падане:

$s = x'/\cos\alpha = v_1 t = v_1\sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 11{,}4\ \mathrm{m}$ (1 т).

Общ брой на точките: 10.