Съдържание

НОФ 2002, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1. Математично махало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2002

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. ОБЛАСТЕН КРЪГ НА НАЦИОНАЛНАТА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА. 14.04.2002. ТЕМА ЗА 10. – 12. КЛАСОВЕ · 14 април 2002 г. · 10 т.

Примерни решения на задачите от областния кръг на Националната олимпиада по физика – 14.04.2002 г. Тема за 10 – 12 класове

Максималният брой точки за всяка задача е 10. При вярно решение, което се различава от примерните решения, дадената задача се оценява като се запазва съотношението между точките по отделните подусловия. Числените отговори се приемат за верни, ако се отклоняват от дадените стойности с не повече от 10 %.

Условие

Математично махало се състои от лека, неразтеглива нишка с дължина 1 m, на която е закачено топче от пластилин с маса 0,1 kg (вж. фиг. 1). Махалото е отклонено на ъгъл $60^{\circ}$ спрямо вертикалата и е пуснато с нулева начална скорост.

Математично махало, окачено на таван: нишката е отклонена от вертикалата (пунктир) с топче вляво и стрелка към долното положение; долу второ топче върху поставка и стрелка надясно след удара. — Фиг. 1

а) Определете големината и посоката на ускорението на топчето непосредствено след пускането на махалото.

б) Намерете скоростта на топчето в момента, когато махалото преминава през вертикално положение. На колко е равна силата на опъване на нишката в същия момент?

в) След като махалото достигне вертикално положение, топчето се удря в друго топче от пластилин със същата маса. Триенето между второто топче и поставката, върху която се е намирало преди удара, може да се пренебрегне. В резултат на удара двете топчета залепват едно за друго и продължават да се люлеят заедно като едно цяло тяло.

На каква максимална височина спрямо точката на удара ще се издигнат двете топчета?

Отговори

Решение

а) На фиг. 1, а са показани силите, които действат върху топчето в началния момент. Тъй като топчето е неподвижно ( $v = 0$ ) неговото центростремително ускорение е нула (1 т)

Това означава, че ускорението на топчето е насочено перпендикулярно на нишката. След като проектираме силите върху допирателната към окръжността от II принцип на Нютон намираме:

$ma = mg\sin\alpha$ или

$a = g\sin\alpha$ (1 т)

$a \approx 8{,}5\ \mathrm{m/s^2}$ (0,5 т)

б) Приемаме, че потенциалната енергия на топчето е нула, когато махалото е във вертикално положение. В началния момент топчето се намира на височина $h = l(1 - \cos\alpha)$ спрямо най-ниската точка от траекторията и има потенциална енергия $E_{\text{п}} = mgh = mg\,l(1 - \cos\alpha)$ . От закона за запазване на енергията следва, че в най-ниската точка:

E_{\text{k}} = \frac{mv^2}{2} = mgl(1 - \cos\alpha)

(1 т),

откъдето получаваме израз за скоростта:

$v = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)}$ (или $v = \sqrt{gl}$ ) (1 т).

$v \approx 3{,}1\ \mathrm{m/s}$ (0,5 т).

На фиг. 1, б са показани силите, които действат върху топчето, когато махалото е вертикално. В това положение топчето има центростремително ускорение:

a_c = \frac{v^2}{l} = g

(1 т),

насочено вертикално нагоре. Във второто равенство е използван изразът за скоростта, получен в т. а). От II принцип на Нютон следва:

$ma_c = T - mg.$

Оттук намираме силата на опън:

$T = mg + ma_c = 2mg$ (1 т).

$T \approx 2{,}0\ \mathrm{N}$ (0,5 т).

в) По време на удара е изпълнен законът за запазване на импулса:

mv = 2mv_1,

където $v_1$ е скоростта на двете топчета непосредствено след удара. Оттук определяме:

v_1 = \frac{v}{2}

(1 т).

Кинетичната енергия на двете топчета непосредствено след удара е:

E_{\text{k}} = \frac{(2m)v_1^2}{2} = \frac{mv^2}{4},

а потенциалната им енергия е нула. След достигане на максимална височина $h_1$ кинетичната енергия е нула, а потенциалната – $(2m)gh_1$ . От закона за запазване на енергията (след удара) следва, че

\frac{mv^2}{4} = 2mgh_1

Оттук, и след като използваме получения израз за скоростта преди удара, намираме окончателно:

$h_1 = \frac{v^2}{8g}$ (или $h_1 = \frac{l}{8}$ ) (1 т).

$h_1 \approx 0{,}13\ \mathrm{m}$ (или $h_1 \approx 13\ \mathrm{cm}$ ) (0,5 т).

Топчето в отклонено положение: нишка под ъгъл α спрямо вертикалния пунктир, сила на опъна T по нишката, сила на тежестта G надолу и ускорение a перпендикулярно на нишката; пунктирна дъга на траекторията. — Фиг. 1, а

Махалото във вертикално положение: сила на опъна T нагоре, сила на тежестта G надолу, центростремително ускорение a_c нагоре и скорост v хоризонтално надясно; пунктирна дъга на траекторията. — Фиг. 1, б

Оригинал в Архива: 10-12.pdf