Съдържание

НОФ 2002, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 2. Поставка с пружина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2002

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. ОБЛАСТЕН КРЪГ НА НАЦИОНАЛНАТА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА. 14.04.2002. ТЕМА ЗА 10. – 12. КЛАСОВЕ · 14 април 2002 г. · 10 т.

Примерни решения на задачите от областния кръг на Националната олимпиада по физика – 14.04.2002 г. Тема за 10 – 12 класове

Максималният брой точки за всяка задача е 10. При вярно решение, което се различава от примерните решения, дадената задача се оценява като се запазва съотношението между точките по отделните подусловия. Числените отговори се приемат за верни, ако се отклоняват от дадените стойности с не повече от 10 %.

Условие

Поставка с маса $M = 0{,}4\ \mathrm{kg}$ може да се движи без триене по хоризонтална повърхност (фиг. 2, а). Поставката е закрепена към пружина с неизвестен коефициент на еластичност. Поставката е изведена от равновесие и започва да трепти свободно с честота $\nu = 3\ \mathrm{Hz}$ и амплитуда $A = 5\ \mathrm{cm}$ .

Поставка с маса M върху хоризонтална повърхност, свързана с пружина k към вертикална стена вляво. — Фиг. 2, а

Същата поставка, свързана с пружина към стената, с трупче с маса m отгоре; коефициентът на триене между тях е означен с μ. — Фиг. 2, б

а) Намерете коефициента на еластичност $k$ на пружината.

б) Намерете максималната скорост на поставката.

След като поставката е спряна, върху нея е поставено трупче с неизвестна маса (фиг. 2, б). Коефициентът на триене между трупчето и поставката е $\mu = 0{,}5$ . След отклонение от равновесие поставката и трупчето започват да трептят заедно с честота $\nu = 2\ \mathrm{Hz}$ , без трупчето да се хлъзга спрямо поставката.

в) Определете масата $m$ на трупчето.

г) При каква максимално начално отклонение на поставката от равновесно ѝ положение е възможно трупчето да трепти заедно с поставката, без да се хлъзга спрямо нея?

Отговори

Решение

а) От връзката $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}$ намираме:

$k = (2\pi\nu)^2 M$ (1 т).

$k \approx 140\ \mathrm{N/m}$ (0,5 т).

б) От закона за запазване на енергията следва, че:

\frac{mv_{\max}^2}{2} = \frac{kA^2}{2}.

Оттук намираме:

$v_{\max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$ (или $v_{\max} = 2\pi\nu A$ ) (1 т).

$v_{\max} \approx 0{,}94\ \mathrm{m/s}$ ( или $v_{\max} \approx 94\ \mathrm{cm/s}$ ) (0,5 т).

в) След поставяне на трупчето поставката и трупчето трептят като едно цяло тяло с маса $(M + m)$ . Следователно честотата е:

\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M + m}}.

Като използваме резултата от точка а) получаваме:

\frac{M + m}{M} = \left(\frac{\nu}{\nu_1}\right)^2,

откъдето намираме окончателно:

m = M\left\{\left(\frac{\nu}{\nu_1}\right)^2 - 1\right\}

(2 т).

$m = 0{,}5\ \mathrm{kg}$ (0,5 т).

г) По време на трептене върху поставката действат в хоризонтално направление силата на еластичност на пружината $F_{\mathrm{E}} = k|x|$ и силата на триене $-f$ от страна на трупчето (вж. фиг. 2). Върху трупчето действа в хоризонтална посока само силата на триене $f$ от страна на поставката.

От II принцип на Нютон следва, че:

$Ma = k\,|x| - f$

$ma = f$ (1 т),

където $a$ е ускорението, с което се движат трупчето и поставката. Оттук изразяваме големината на силата на триене като функция на отместването $x$ :

f = k\,|x|\,\frac{m}{m + M}

(1 т).

За да не се хлъзга трупчето е необходимо $f$ да е по-малка или равна на максималната сила на триене при покой:

$f \le \mu mg$ (1 т).

Оттук намираме:

$|x| \le x_{\max} = \frac{\mu(M + m)g}{k}$ (или $x_{\max} = \frac{\mu g}{(2\pi\nu_1)^2}$ ) (1 т).

$x_{\max} \approx 0{,}031\ \mathrm{m}$ (или $x_{\max} \approx 3{,}1\ \mathrm{cm}$ ) (0,5 т).

Поставка с трупче, свързана с пружина към стената: силата на еластичност F_E сочи наляво към стената, силата на триене f върху трупчето сочи наляво, а силата −f върху поставката сочи надясно; отместването |x| е означено с двустранна стрелка спрямо пунктирната равновесна линия. — Фиг. 2

Оригинал в Архива: 10-12.pdf