Съдържание

НОФ 2002, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 2

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2002

Национален кръг на XXXIV олимпиада по физика · 26 май 2002 г. · 15 т.

Условие

Един mol хелий (разгледан като идеален газ) се намира в цилиндър с подвижно бутало, което се движи бавно и свива газа. Във всеки момент изменението на температурата на газа (спрямо неговата начална температура) е два пъти по-малко от изменението на температурата, ако процесът беше адиабатен. Началната и крайната температура на газа са $T_0$ и $2T_0$ .

а) Намерете зависимостта на налягането на газа от обема му при този процес. [7 т.]

б) Определете как зависи топлинният капацитет на газа при този процес от температурата и намерете неговата максимална стойност. [6 т.]

След като газът достигне температура $2T_0$ , той се охлажда изобарно до първоначалната си температура.

в) Представете в $T$ - $V$ диаграма двата описани процеса. [2 т.]

Решение

а) Изменението на температурата е

T-T_0=\frac12(T_{\text{ад}}-T_0),

откъдето следва $T=\frac12(T_{\text{ад}}+T_0)$ .

От уравнението на адиабатния процес

T_{\text{ад}}=T_0\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\gamma-1}.

Тогава

T=\frac{T_0}{2}\left[1+\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\gamma-1}\right].

Като отчетем уравнението на Клапейрон–Менделеев $pV=RT$ , получаваме

p=\frac{p_0V_0}{2}\cdot\frac1V+\frac{p_0V_0^\gamma}{2}\cdot\frac1{V^\gamma},

където $\gamma=C_p/C_v=5/3$ .

б) По определение топлинният капацитет е

c=\frac{\Delta Q}{\Delta T}=c_v+p\frac{\Delta V}{\Delta T},

където $\Delta T$ и $\Delta V$ са малки изменения на температурата и обема. Като използваме зависимостта на температурата от обема намираме

\frac{\Delta T}{\Delta V}=\frac{T_0(1-\gamma)}{2V_0}\left(\frac{V_0}{V}\right)^\gamma,

откъдето следва:

c=c_v+\frac{2pV_0}{(1-\gamma)T_0}\left(\frac V{V_0}\right)^\gamma=-\frac{c_vT_0}{2T-T_0}=-\frac{3RT_0}{2(2T-T_0)}.

Тук сме отчели, че $\gamma-1=R/C_v$ и $C_v=(3/2)R$ . Топлинният капацитет е отрицателен и максималната му стойност е $c=-(1/2)R$ и е при $T=2T_0$ .

в) Графиките на процесите са представени на фиг. 4.

Оригинал в Архива: 2002_zad1.jpg · допълнителни данни: 2002_zad2.jpg · допълнителни данни: 2002_resh1.jpg · допълнителни данни: 2002_resh2.jpg · допълнителни данни: 2002_resh3.jpg