Съдържание

НОФ 2002, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 3

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2002

Национален кръг на XXXIV олимпиада по физика · 26 май 2002 г. · 15 т.

Условие

Топче с маса $m$ и положителен електричен заряд $q$ е окачено на нишка с дължина $l$ . То се движи по хоризонтална окръжност в земното гравитационно поле, като нишката сключва ъгъл $45^\circ$ с вертикалата. Движението на топчето се извършва в присъствието на еднородно магнитно поле с индукция $B$ , насочено вертикално.

а) Определете силата на опъване $R$ на нишката и периода $T$ на обикаляне на топчето. [10 т.]

б) В даден момент нишката прегаря. Опишете траекторията на движение на топчето. [5 т.]

Решение

а) Движението на топчето се извършва под действие на три сили — силата на тежестта $G=mg$ , силата на опъване $R$ и магнитната сила $f=qvB$ , посоката на която зависи от взаимната ориентация на $\mathbf v$ и $\mathbf B$ (вж. фиг. 5).

Ако фиксираме посоката на $B$ вертикално нагоре, налице са две възможности.

При въртене по часовата стрелка (посоката на $f$ е показана с плътна стрелка):

\frac{mv^2}{l\sin\alpha}=R\sin\alpha+qvB.

При въртене срещу часовата стрелка (посоката на $f$ е показана с пунктирана черта):

\frac{mv^2}{l\sin\alpha}=R\sin\alpha-qvB.

В случай, че магнитната индукция е насочена надолу, първото уравнение се отнася за движение срещу часовата стрелка, а второто — за движение по посока на часовата стрелка. И в двата случая

R=\frac{mg}{\cos\alpha}=\sqrt2mg.

Двете уравнения могат да бъдат записани във вида

v^2\mp\frac{qBl}{\sqrt2m}v-\frac{gl}{\sqrt2}=0.

Тъй като $v$ е големината на скоростта, избираме само положителните корени:

v_1=\frac12\left[\sqrt{\left(\frac{qBl}{\sqrt2m}\right)^2+2\sqrt2gl}+\frac{qBl}{\sqrt2m}\right],

v_2=\frac12\left[\sqrt{\left(\frac{qBl}{\sqrt2m}\right)^2+2\sqrt2gl}-\frac{qBl}{\sqrt2m}\right].

Периодът на въртене в зависимост от посоката на обикаляне е

T_1=\frac{2\pi l\sin\alpha}{v_1}=\frac{\sqrt2\pi l}{v_1}\quad\text{или}\quad T_2=\frac{\sqrt2\pi l}{v_2},

като $T_2>T_1$ .

в) При прегаряне на нишката топчето се движи под действието на две взаимноперпендикулярни сили — магнитната сила $f=qvB$ , която е насочена хоризонтално, и силата на тежестта, насочена вертикално. Следователно проекцията на траекторията в хоризонтална равнина е окръжност с радиус

r=\frac{mv_\perp}{qB}\quad(v_\perp=v_1\ \text{или}\ v_2),

а движението във вертикална посока е равноускорително със скорост $v_y=gt$ . Траекторията е винтова линия, чиято стъпка нараства равномерно с всяка следваща обиколка.

Оригинал в Архива: 2002_zad1.jpg · допълнителни данни: 2002_zad2.jpg · допълнителни данни: 2002_resh1.jpg · допълнителни данни: 2002_resh2.jpg · допълнителни данни: 2002_resh3.jpg