Съдържание

НОФ 2003, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2003

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. ТЕМА за Областния кръг на олимпиадата по ФИЗИКА, 13.04.2003 г. 10. – 12. КЛАС · 13 април 2003 г. · 10 т.

Указания към примерните решения

Максималният брой точки за всяка задача е 10, а за цялата тема - 30.
Предложените решения са примерни и не са задължителни. Ако даден участник е предложил друго решение, то се оценява според максималния брой точки за съответното подусловие.
Числените отговори се приемат за верни, ако се различават от дадените по-долу с не повече от 10%.

Условие

Топка за тенис пада от начална височина $h_0 = 2\ \mathrm{m}$ върху неподвижна тенис-ракета, разположена на височина $h = 1{,}5\ \mathrm{m}$ . Повърхността на ракетата е наклонена под ъгъл $45^{\circ}$ спрямо хоризонта, така че топката отскача от нея в хоризонтално направление (вж. фиг. 1).

Топка (кръгче) над наклонена ракета; вертикални стрелки показват височините h₀ (от земята до топката) и h (от земята до ракетата); пунктирна парабола от ракетата до земята, хоризонталното разстояние е означено с x. — Фиг. 1

а) Колко е скоростта $v$ на топката непосредствено преди удара в ракетата? [2 т.]

б) След като отскочи от ракетата топката губи 40 % от кинетична енергия, която е имала преди удара. На какво разстояние $x$ спрямо ракетата в хоризонтална посока ще падне топката след удара? [6 т.]

в) Изобразете графично зависимостта на далечината на полета на топката $x$ от височината $h$ , на която е поставена ракетата При каква височина на ракетата $h_{\max}$ топката отскача на максимално разстояние $x_{\max}$ ? Колко е това разстояние? [2 т.]

Земното ускорение е $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ .

Отговори

Решение

а) От законите за скоростта $v = gt$ (0,5 т.)

и пътя: $s = h_0 - h = \dfrac{gt^2}{2}$ (0,5 т.)

намираме: $v = \sqrt{2g(h_0 - h)}$ (0,5 т.)

$v = \sqrt{2\ .\ 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\ .\ 0{,}5\ \mathrm{m}} \approx 3{,}1\ \mathrm{m/s}$ . (0,5 т.)

б) Скоростта $v_1$ на топката след удара е такава, че:

$\dfrac{mv_1^2}{2} = 0{,}6\dfrac{mv^2}{2}$ , (1 т.)

откъдето: $v_1 = \sqrt{\dfrac{3}{5}}v = \sqrt{\dfrac{6g(h_0 - h)}{5}}$ (1 т.)

По $X$ : $x = v_1 t$ (1 т.)

По $Y$ : $y = \dfrac{1}{2}gt^2$ (1 т.)

В момента, когато топката достига земната повърхност $y = h$ . (0,5 т.)

Следователно времето за полет е $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ , а далечината на полета:

$x = v_1 t = \sqrt{\dfrac{12}{5}h(h_0 - h)}$ (1 т.)

$x = \sqrt{\dfrac{12\ .\ 1{,}5\ \mathrm{m}\ .\ 0{,}5\ \mathrm{m}}{5}} \approx 1{,}34\ \mathrm{m}$ . (0,5 т.)

в) Изразът под корена $f(h) = \dfrac{12}{5}h(h_0 - h)$ е квадратна функция на $h$ с нули $h_1 = 0$ и $h_2 = h_0$ . Графиката на $x$ от $h$ е представена на фиг. 1,б. (1 т. за правилно построена графика)

Квадратната функция приема максимална стойност при

$h_{\max} = \dfrac{h_1 + h_2}{2} = \dfrac{h_0}{2} = 1\ \mathrm{m}$ . (0,5 т.)

Максималната далечина $x_{\max}$ на полета е съответно:

$x_{\max} = h_0\sqrt{\dfrac{3}{5}}$ или

$x_{\max} \approx 1{,}55\ \mathrm{m}$ . (0,5 т.)

Координатна система с ос X надясно и ос Y надолу; от точката на ракетата топката отскача хоризонтално със скорост v⃗₁ (стрелка по оста X) и описва пунктирна парабола до хоризонталната линия на земята на дълбочина h. — Фиг. 1, а

Графика на x като функция на h: парабола, започваща от 0, с максимум x_max при h_max (пунктирни линии към осите) и нула при h₀. — Фиг 1. б

Оригинал в Архива: 10-12.pdf