НОФ 2003, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 2

• а) 1 s
• б) 1400 N

а) Преди човекът да стъпи върху платформата пружината е свита под действие на теглото на платформата. Големината на началната деформация на пружината се определя от закона на Хук:

$|\Delta l_0| = \dfrac{m_2 g}{k}$ (1 т.)

След като човекът стъпи върху платформата трептенето се извършва около равновесно положение, в което пружината е деформирана с:

$|\Delta l| = \dfrac{(m_1 + m_2)g}{k}$ (1 т.)

Следователно амплитудата на трептенето е:

$A = |\Delta l| - |\Delta l_0| = \dfrac{m_1 g}{k}$,

откъдето намираме коефициента на еластичност на пружината:

$k = \dfrac{m_1 g}{A}$. (1 т.)

Периодът на трептенето се определя от коефициента на еластичност на пружината и общата маса на телата, които трептят:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_1 + m_2}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{(m_1 + m_2)A}{m_1 g}}$ (1 т.)

$T = 2\ .\ 3{,}14\sqrt{\dfrac{100\ \mathrm{kg}\ .\ 0{,}2\ \mathrm{m}}{80\ \mathrm{kg}\ .\ 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}}} \approx 1{,}0\ \mathrm{s}$. (0,5 т.)

б) Уравнението за движение на човека има вида (вж. фиг. 2):

$m_1 a = R - m_1 g$, (1 т.)

а на платформата:

$m_2 a = k|\Delta l| - R - m_2 g$. (1 т.)

От двете уравнения изразяваме силата на нормална реакция:

$R = \dfrac{m_1 k}{m_1 + m_2}|\Delta l|$. (1 т.)

Големината на деформацията на пружината е максимална в крайно долно положение:

$|\Delta l|_{\max} = |\Delta l_0| + 2A = \dfrac{m_2 g}{k} + 2A$. (1 т.)

Като вземем предвид, че $k = \dfrac{m_1 g}{A}$ намираме:

$|\Delta l|_{\max} = \dfrac{2m_1 + m_2}{m_1}A$

и определяме максималната сила на нормална реакция:

$R = \dfrac{m_1 k}{m_1 + m_2}|\Delta l|_{\max} = \dfrac{m_1(2m_1 + m_2)}{m_1 + m_2}g$ (1 т.)

$R = \dfrac{80\ \mathrm{kg}\ .\ (2\ .\ 80\ \mathrm{kg} + 20\ \mathrm{kg})\ .\ 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}}{100\ \mathrm{kg}} \approx 1400\ \mathrm{N}$. (0,5 т.)