Съдържание

НОФ 2003, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 2

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2003

Национален кръг на XXXV олимпиада по физика · 10 май 2003 г. · 15 т.

Условие

Следващите подусловия са независими едно от друго.

а) Обемът на хоризонтален цилиндър е разделен на две части от леко и подвижно бутало. Във всяка част на цилиндъра се намира по 1 mol идеален газ с показател на адиабатата $\gamma$ . Стените на цилиндъра и буталото са направени от материал, който не провежда топлина. В частта 1 има вграден нагревател с пренебрежим обем, който бавно нагрява газа. Намерете топлинните капацитети $c_1$ и $c_2$ на всеки един от газовете. Резултатите изразете чрез универсалната газова константа $R$ , показателя на адиабатата $\gamma$ и отношението на обемите $\alpha=V_2/V_1$ . [8 т.]

б) Един mol идеален газ се намира под леко подвижно бутало във вертикален цилиндър. Налягането на газа е $p_0$ , а температурата му — $T_0$ . Сравнете температурите $T_1$ и $T_2$ на газа, достигнати при следните процеси:

Външното налягане нараства скокообразно от $p_0$ до $p$ .
Външното налягане нараства бавно от $p_0$ до $p$ .

Газът е топлинно изолиран от околната среда и има показател на адиабатата $\gamma$ . [7 т.]

Решение

а) Топлинният капацитет на идеален газ се определя от израза:

c=c_v+p\frac{\Delta V}{\Delta T},\qquad(1\ \text{т.})

където $\Delta V$ и $\Delta T$ са малки изменения на обема и температурата на газа при този процес. Тогава:

c_1=c_v+p_1\frac{\Delta V_1}{\Delta T_1},\qquad(0{,}5\ \text{т.})

c_2=c_v+p_2\frac{\Delta V_2}{\Delta T_2}=0,\qquad(0{,}5\ \text{т.})

защото газът в частта 2 е топлинно изолиран.

В процеса на нагряване $p_1=p_2$ (0,5 т.) и следователно

\frac{T_1}{V_1}=\frac{T_2}{V_2}.\qquad(0{,}5\ \text{т.})

От друга страна $\Delta V_1+\Delta V_2=0$ (0,5 т.), понеже обемът на цилиндъра е постоянен и

T_1\Delta V_2+V_2\Delta T_1=T_2\Delta V_1+V_1\Delta T_2.\qquad(1\ \text{т.})

Като отчетем, че

c_v=\frac R{\gamma-1},\qquad(0{,}5\ \text{т.})

\Delta T_2=\frac{RT_1}{c_vV_1}\Delta V_1,\qquad(1\ \text{т.})

намираме

p_1\frac{\Delta V_1}{\Delta T_1}=R\frac\alpha{\gamma+\alpha},\qquad(1\ \text{т.})

откъдето следва

c_1=\frac{\gamma(1+\alpha)}{(\gamma-1)(\gamma+\alpha)}R.\qquad(1\ \text{т.})

б) При процеса 1 газът се свива и достига температура $T_1$ . Налягането на газа е определено само в крайното състояние. От първия принцип на термодинамиката

\Delta U-A=0,\qquad(0{,}5\ \text{т.})

където $A=-p\Delta V$ е работата, извършена от външната сила (величината $A'$ — работата, извършена от газа, не е дефинирана за този неравновесен процес).

Като отчетем

\Delta U=c_v(T_1-T_0),\qquad(0{,}5\ \text{т.})

p\Delta V=p(V-V_0)=R\left(T_1-\frac p{p_0}T_0\right),\qquad(0{,}5\ \text{т.})

c_v=\frac R{\gamma-1},\qquad(0{,}5\ \text{т.})

намираме

T_1=\left[1+\frac{(\gamma-1)(p-p_0)}{\gamma p_0}\right]T_0.\qquad(1\ \text{т.})

При процеса 2 налягането на газа е равно на външното налягане във всеки етап от процеса. От уравнението на адиабатния процес имаме

T_0(p_0)^{(1-\gamma)/\gamma}=T_2p^{(1-\gamma)/\gamma},\qquad(1\ \text{т.})

откъдето следва

T_2=T_0\left[1+\frac{p-p_0}{p_0}\right]^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.\qquad(1\ \text{т.})

Нека $T_1=f(x)T_0$ и $T_2=g(x)T_0$ , където

x=\frac{p-p_0}{p_0},

f(x)=1+\frac{\gamma-1}\gamma x,\quad g(x)=(1+x)^{\frac{\gamma-1}\gamma}.

Тъй като за всяко $x>0$ е изпълнено $f'(x)<g'(x)$ , то $T_1$ нараства по-бавно от $T_2$ . Понеже $f(0)=g(0)$ , в сила е неравенството

T_2>T_1.\qquad(2\ \text{т.})

Оригинал в Архива: 2003_zad1.jpg · допълнителни данни: 2003_zad2.jpg · допълнителни данни: 2003_resh1.jpg · допълнителни данни: 2003_resh2.jpg · допълнителни данни: 2003_resh3.jpg