Съдържание

НОФ 2003, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 3

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2003

Национален кръг на XXXV олимпиада по физика · 10 май 2003 г. · 15 т.

Условие

Плосък кондензатор се състои от две пластини всяка с площ $S$ , разположени на разстояние $d$ една от друга. На пластините са придадени заряди $+Q$ и $-Q$ съответно. Положително заредената пластинка е потопена на дълбочина $h$ ( $h<d$ ) в течност с диелектрична проницаемост $\varepsilon$ (вж. фиг. 1).

а) Намерете енергията на електричното поле в кондензатора. [6 т.]

б) Определете големината на заряда $q$ , индуциран върху свободната повърхност на течността. [9 т.]

Фиг. 1. Кондензатор с диелектрична течност.

Решение

а) Еквивалентната схема на кондензатора е:

Еквивалентна схема на двата последователни капацитета.

(1 т.)

C_1=\frac{\varepsilon_0S}{d-h},\qquad(1\ \text{т.})

C_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon S}{h},\qquad(1\ \text{т.})

\frac1C=\frac1{C_1}+\frac1{C_2}=\frac{\varepsilon(d-h)+h}{\varepsilon\varepsilon_0S}.\qquad(1\ \text{т.})

W=\frac{CU^2}{2}=\frac{Q^2}{2C},\qquad(1\ \text{т.})

W=\frac{\varepsilon(d-h)+h}{2\varepsilon\varepsilon_0S}Q^2.\qquad(1\ \text{т.})

б) Напрежението между пластините на кондензатора е

U=\frac QC=\frac{\varepsilon(d-h)+h}{\varepsilon\varepsilon_0S}Q.\qquad(1\ \text{т.})

От връзката между напрежението и интензитета за еднородно поле намираме

U=E_1(d-h)+E_2h,\qquad(2\ \text{т.})

където $E_1$ и $E_2$ са интензитетите на електричното поле вън от течността (във вакуум) и в течността съответно. От друга страна тези интензитети са свързани с равенството

E_2=\frac{E_1}\varepsilon.\qquad(1\ \text{т.})

От горните уравнения намираме:

E_1=\frac Q{\varepsilon_0S},\qquad(1\ \text{т.})

E_2=\frac Q{\varepsilon\varepsilon_0S}.\qquad(1\ \text{т.})

Разглеждаме цилиндрична повърхност, чиито основи са успоредни на свободната повърхност на течността (вж. фиг. 3). От теоремата на Гаус имаме

Фиг. 3. Гаусова повърхност и интензитети.

\Phi=E_1S-E_2S=\frac q{\varepsilon_0},\qquad(2\ \text{т.})

откъдето големината на индуцирания заряд е

q=\frac{Q(\varepsilon-1)}\varepsilon.\qquad(1\ \text{т.})

Оригинал в Архива: 2003_zad1.jpg · допълнителни данни: 2003_zad2.jpg · допълнителни данни: 2003_resh1.jpg · допълнителни данни: 2003_resh2.jpg · допълнителни данни: 2003_resh3.jpg