Съдържание

НОФ 2003, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 4

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2003

Национален кръг на XXXV олимпиада по физика · 10 май 2003 г. · 15 т.

Условие

а) Светлинен лъч пада под малък ъгъл $\alpha$ спрямо перпендикуляра към едната повърхност на стъклена призма с показател на пречупване $n$ и малък ъгъл $\gamma$ при върха (вж. фиг. 2, а). Намерете ъгъла $\delta$ , на който се отклонява преминалият лъч спрямо падащия лъч, след като премине през призмата. [5 т.]

Упътване: За малки ъгли са в сила приблизителните равенства $\sin\alpha\approx\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha$ и $\cos\alpha\approx1$ , където $\alpha$ е мярката на ъгъла, изразена в радиани. Показателят на пречупване на въздуха да се приеме равен на 1.

б) Тънка плоскопаралелна пластинка е скосена в единия си край под ъгъл $\gamma=1^\circ$ , така както е показано на фиг. 2, б. Дължините на скосената и плоскопаралелната част са еднакви — $L=1\ \mathrm{cm}$ . Показателят на пречупване на стъклото е $n=1{,}5$ . Успореден сноп монохроматична светлина с дължина на вълната $\lambda=500\ \mathrm{nm}$ пада перпендикулярно върху плоската повърхност на пластината. Върху екран, разположен успоредно на плоската повърхност, се наблюдава интерференчна картина.

• Намерете разстоянието $\Delta x$ между съседните интерференчни максимуми. (5 точки)

• На какво разстояние $s$ от пластинката трябва да бъде разположен екранът, така че върху него да се наблюдават максимален брой интерференчни максимуми? На колко е равен при това разстояние броят $N$ на максимумите? (5 точки)

Приемете, че дебелината на пластината е много по-малка от дължината ѝ $2L$ и от разстоянието $s$ .

Решение

а) На фиг. 4, а е показан ходът на лъчите в призмата.

От закона на Снелиус

\sin\theta=\frac{\sin\alpha}{n}.

Понеже $\alpha$ и $\theta$ са малки ъгли,

\theta=\frac\alpha n.

Аналогично $\varphi=\beta/n$ .

От геометрични съображения

\theta+\varphi=\gamma,\qquad\delta=\alpha+\beta-\gamma.

Окончателно намираме $\delta=(n-1)\gamma$ .

Коментар: Полученият извод е валиден само при малки ъгли $\alpha$ и $\gamma$ . За произволни ъгли на падане и произволен ъгъл при върха на призмата обаче ъгълът на отклонение зависи от $\alpha$ .

б)

Нека в т. $A$ се наблюдава интерференчен максимум, породен от наслагването на лъчите 1 и 2, а в т. $A'$ е съседният максимум, в който интерферират лъчите $1'$ и $2'$ . От условието за максимум имаме:

s_2-s_1=k\lambda,

s'_2-s'_1=(k+1)\lambda,

където $s_1$ , $s_2$ , $s'_1$ и $s'_2$ са оптичните пътища на лъчите 1, 2, $1'$ и $2'$ от навлизането им в пластината до тяхното попадане върху екрана.

Лъчите 1 и $1'$ изминават еднакви пътища ( $s_1=s'_1$ ), откъдето следва

s'_2-s_2=\lambda.

Нека т. $A''$ лежи върху един вълнов фронт с т. $A$ , т. е. светлинната вълна в т. $A$ и т. $A''$ има еднакви фази. Следователно

s'_2-s_2=A'A''=\lambda.

Вълновият фронт е перпендикулярен спрямо лъчите 2 и $2'$ , т. е. $AA''\perp AA'$ , откъдето получаваме

\Delta x=AA'=\frac{AA''}{\sin\delta}=\frac\lambda{\sin\delta}.

Като отчетем, че $\delta$ е малък ъгъл и $\delta=(n-1)\gamma$ , окончателно намираме

\Delta x=\frac\lambda{(n-1)\gamma},

\Delta x=\frac{5{,}00\cdot10^{-7}\ \mathrm m}{(1{,}5-1)(3{,}14\cdot1^\circ/180^\circ)\ \mathrm{rad}}=5{,}7\cdot10^{-5}\ \mathrm m.

Интерференция настъпва само в областта, в която се наслагват светлинните снопове, преминали през скосената част и плоскопаралелната част съответно (вж. фиг. 4, в). За да се наблюдават максимален брой максимуми, е необходимо екранът да бъде разположен от пластината на разстояние

s=\frac L{\operatorname{tg}\delta}\approx\frac L{(n-1)\gamma},

s=\frac{0{,}01\ \mathrm m}{(1{,}5-1)(3{,}14\cdot1^\circ/180^\circ)\ \mathrm{rad}}=1{,}15\ \mathrm m.

Броят на максимумите при това разстояние е съответно

N=\frac L{\Delta x}=\frac{0{,}01\ \mathrm m}{5{,}7\cdot10^{-5}\ \mathrm m}\approx175.

Фиг. 4, в. Област на наслагване на сноповете.

Оригинал в Архива: 2003_zad1.jpg · допълнителни данни: 2003_zad2.jpg · допълнителни данни: 2003_resh1.jpg · допълнителни данни: 2003_resh2.jpg · допълнителни данни: 2003_resh3.jpg