НОФ 2004, I кръг (общински), 10–12 клас — Задача 2

• $a_2 = \dfrac{v_1 v_2}{l}$

  В условието разстоянието е означено с $l_1$, в решението — с $l$.

Дадено: $\vec{v}_1$, $v_2$, $l$ Търси се: $\vec{a}_2 = ?$

Решение:

В момента $t = 0$ $\vec{v}_2 \perp \vec{v}_1$, след време $\Delta t$ лисицата е изминала път $BC = v_1\Delta t$, а вектор $\vec{v}_2$ ще се завърти на ъгъл $\Delta\varphi$, така че $\vec{v}_2$ ще остане насочена към $\vec{v}_1$. Тъй като $\vec{v}_2 = \mathrm{const} \Rightarrow$ на кучето действа само нормално ускорение $a_2 = \dfrac{v_2^2}{R}$ (1), където R е радиусът на окръжността, чиято дъга е траекторията на кучето за време $\Delta t$.

$v_2 = \omega R$ и $\omega = \dfrac{\Delta\varphi}{\Delta t} \Rightarrow v_2 = \dfrac{\Delta\varphi}{\Delta t} R \Rightarrow \Delta\varphi = \dfrac{v_2\Delta t}{R}$ (2)

От $\Delta ABC \rightarrow tg\Delta\varphi = \dfrac{v_1\Delta t}{l}$; Тъй като $\Delta\varphi$ е много малък $\Rightarrow tg\Delta\varphi \approx \Delta\varphi \Rightarrow \Delta\varphi = \dfrac{v_1\Delta t}{l}$ (3);

От (2) и (3) $\Rightarrow \dfrac{v_2\Delta t}{R} = \dfrac{v_1\Delta t}{l} \Rightarrow R = \dfrac{v_2}{v_1} l$ (4)

Заместваме (4) в (1) $\Rightarrow a_2 = \dfrac{v_1 v_2}{l}$.

Оценяване:

Максимално 10 точки.