НОФ 2004, I кръг (общински), 10–12 клас — Задача 3

• $r = \sqrt{\dfrac{gR^2T^2}{4\pi^2}}$

  Официалното решение отпечатва квадратен корен, въпреки че предходното равенство е за $r^3$; математическата грешка на източника е запазена.

Разглеждаме спътника като материална точка с маса m. В случая центростремителната сила $F_{\text{ц}}$ е гравитационната сила, с която Земята привлича спътника……1т.

От формулата за центростремителна сила и закона на Нютон за гравитацията получаваме: $m\omega^2 r = \dfrac{\gamma mM}{r^2}$ ……2т.

но $m\omega^2 r = \dfrac{mV^2}{r}$ и $V = \dfrac{2\pi r}{T}$, следователно

$\gamma\dfrac{mM}{r^2} = \dfrac{m4\pi^2 r}{T^2}$ ……2т.

$r^3 = \gamma\dfrac{MT^2}{4\pi^2}$ и $r = \sqrt{\gamma\dfrac{MT^2}{4\pi^2}}$ ……2т.

За наблюдателя на Земята: $\gamma\dfrac{mM}{R^2} = mg$ ……1т.

Оттук определяме масата на Земята: $M = \dfrac{R^2 g}{\gamma}$ и заместваме, за да определим радиуса на орбитата на спътника: $r = \sqrt{\dfrac{gR^2T^2}{4\pi^2}}$ ……2т.

Максимално 10 точки