Съдържание

НОФ 2004, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 2. Движение по циклоида

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2004

ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО ФИЗИКА. ТЕМА за Областния кръг на олимпиадата по физика. 10. –12. клас, 27 март 2004 година · 27 март 2004 г.

Условие

На фиг.3 е показана област, в която има еднородно електростатично поле с интензитет $E = 8\ \mathrm{kV/m}$ . Векторът $\vec{E}$ е насочен по оста $y$ . В същата област има и еднородно магнитно поле с индукция $B = 20\ \mathrm{mT}$ . Векторът $\vec{B}$ е перпендикулярен на $\vec{E}$ и на равнината $xy$ . Протон тръгва от покой от началото $O$ на координатната система. Траекторията на протона е показана на фиг.3. Тя е крива линия, която в математиката се нарича циклоида. (От вас не се иска да получавате уравнението на траекторията.)

Специфичният заряд на протона е $e/m = 9{,}6.10^{7}\ \mathrm{C/kg}$ . Масата на протона е $m = 1{,}67.10^{-27}\ \mathrm{kg}$ .

Координатна система с оси x и y и начало O; вертикални стрелки нагоре означават полето E⃗, точки означават полето B⃗; траекторията на протона е дъга (циклоида) от O през най-горната точка M до точка N на оста x. — Фиг. 3.

а) Накъде е насочен векторът $\vec{B}$ : към вас или навътре към чертежа? Обосновете отговора си.

б) Пресметнете ускорението на протона в началната точка $O$ .

в) Представете големината $v$ на скоростта на протона като функция на неговата координата $y$ .

г) Без да правите пресмятания, продължете траекторията на протона след точка $N$ (фиг.3). Обосновете се. Направете чертеж.

д) В точка $M$ от траекторията (фиг.3) скоростта на протона е насочена по посока на оста $x$ . Математически се доказва, че радиусът на кривината на траекторията в точка $M$ е $r = 2y_M$ , където $y_M$ е $y$ -координатата на точка $M$ . (Това означава, че в точка $M$ можем да разглеждаме движението на протона като движение по окръжност с радиус $r = 2y_M$ .) Като използвате тези два факта, пресметнете числените стойности на скоростта $v$ и на ускорението $a$ на протона в точка $M$ .

е) Защо при решаването на тази задача не се отчитат силата на тежестта и релативистки ефекти?

Отговори

Решение

а) Магнитната сила е насочена към вдлъбнатата част на траекторията. По правилото на дясната ръка се определя посоката на магнитната индукция: векторът $\vec{B}$ е насочен от чертежа към нас .......... 1 точка

б) В началния момент на протона действа само електрична сила $eE$ . Неговото ускорение е

a = \frac{e}{m}E = 7{,}7.10^{11}\ \mathrm{m/s^2} \qquad \text{.......... 1 точки}

в) Магнитната сила променя само посоката на скоростта. Тя не извършва работа и не променя кинетичната енергия (големината на скоростта) на протона. Приемаме оста $x$ за нулево равнище на електричната потенциална енергия на протона в еднородното електростатично поле. Тогава от закона за запазване на енергията следва равенството

0 = \frac{mv^2}{2} - eEy,

където $-Ey$ е потенциалът на всички точки от равнината $xy$ , които се намират на разстояние $y$ от оста $x$ . От горното равенство изразяваме скоростта $v$

v = \sqrt{\frac{2eEy}{m}} \qquad \text{.......... 2 точки}

г) От закона за запазване на енергията следва, че скоростта на протона в точка $N$ е нула, т.е. тя е равна на скоростта му в началната точка $O$ . .......... 1 точка

Тъй като двете полета са еднородни, то след точка $N$ движението ще се повтаря (фиг.4). То се извършва в същите полета при същите начални условия (скорост) .......... 1 точка

д) В точка $M$ електричната сила $eE$ и магнитната сила $evB$ , които действат на протона, са перпендикулярни на скоростта, т.е. те са насочени по нормалата към траекторията. ( Магнитната сила е насочена към центъра на окръжността с радиус $r$ , а електричната сила – в противоположната посока.) Записваме уравнението на втория принцип на механиката за движението на протона в точка $M$ :

eBv - eE = \frac{mv^2}{r} \qquad \text{.......... 1 точка}

Полагаме $r = 2y_M$ . Само в дясната страна на уравнението заместваме $v^2 = \dfrac{2eEy_M}{m}$ . Получаваме

v = \frac{2E}{B} = 8.10^{5}\ \mathrm{m/s} \qquad \text{.......... 1 точка}

Ускорението на протона е

a = \frac{eBv - eE}{m} = \frac{e}{m}E, \qquad \text{.......... 1 точка}

т.е. в точка $M$ протонът има същото ускорение, както в точка $O$ .

е) Ускорението на протона под действие на електростатичното поле е близо 100 милиарда пъти по-голямо от земното ускорение. Следователно гравитационната сила е пренебрежимо малка в сравнение с електричната и магнитната сили .......... 0,5 точки

Максималната скорост на протона е $8.10^{5}\ \mathrm{m/s}$ . Тя е много по-малка от скоростта на светлината ( $3.10^{8}\ \mathrm{m/s}$ ). Затова релативистките ефекти не се отчитат .......... 0,5 точки

Същата координатна система като на фиг. 3 с полета E⃗ (стрелки нагоре) и B⃗ (точки); траекторията е продължена след N с втора еднаква дъга до следваща точка на оста x — повтаряща се циклоида. — Фиг. 4.

Полезни формули

Полезни формули,

които можете да използвате при решаването на задачите

Движението на материална точка с маса $m$ със скорост $v$ по окръжност с радиус $r$ се извършва под действието на центростремителна сила с големина

F = \frac{mv^2}{r}.

Енергията на електричното поле на кондензатор с капацитет $C$ , който е зареден до напрежение $U$ , е

W_E = \frac{1}{2}CU^2.

Енергията на магнитното поле на ток $I$ , който тече през намотка с индуктивност $L$ , е

W_B = \frac{1}{2}LI^2.

Оригинал в Архива: 10-12.pdf