Съдържание

НОФ 2004, III кръг (национален) — Задача 1. Движение под действие на гравитационни сили

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2004

Национален кръг на олимпиадата по физика 2004, теоретичен кръг · 8 май 2004 г. · 15 т.

Условие

Част 1.

Космически апарат обикаля около неизвестна планета по кръгова орбита с радиус $R = 1{,}00.10^{6}$ m и период $T = 3{,}14.10^{5}$ s.

а) Определете отношението $\left|E_{\text{п}}\right|/E_k$ на модула на гравитационната потенциална енергия $\left|E_{\text{п}}\right|$ на апарата към неговата кинетична енергия $E_k$ . [2 точки] [2 т.]

б) Колко килограма е масата $M$ на планетата? [3 точки] [3 т.]

в) Представете си, че в даден момент орбиталното движение на апарата внезапно се прекрати (апаратът застава неподвижен на разстояние $R$ от планетата). За колко секунди апаратът ще падне върху планетата? Размерите на планетата не се отчитат. Влиянието на другите небесни тела се пренебрегва. [4 точки] [4 т.]

Указание. Падането на апарата към планетата (падане към силов център) може да се разглежда като движение по изродена елиптична орбита (елипса, чиято малка полуос клони към нула).

Част 2.

Четири небесни тела (материални точки) с еднакви маси $m$ в началния момент са неподвижни във върховете на квадрат с диагонал $2R$ . Под действие на гравитационните сили на взаимно привличане телата започват да се движат едно към друго.

г) В коя точка от квадрата телата ще се сблъскат? [1 точка] [1 т.]

д) Определете времето $t$ от началото на движението до момента на сблъскването. [5 точки] [5 т.]

Решение

Част 1.

а) Модулът на потенциалната енергия на апарата е

\left|E_{\text{п}}\right| = \gamma\frac{mM}{R}\qquad \text{……… 0,5 точки}

където $m$ е масата на космическия апарат.

Кинетичната енергия определяме от закона на Нютон за гравитацията и от втория принцип на механиката, приложен за движението по окръжност:

F_{\text{п}} = ma_{\text{п}} \quad \text{или} \quad \gamma\frac{mM}{R^{2}} = m\frac{v^{2}}{R}\qquad \text{……… 1 точка}

E_k = \frac{mv^{2}}{2} = \gamma\frac{mM}{2R} = \frac{\left|E_{\text{п}}\right|}{2},\qquad \frac{\left|E_{\text{п}}\right|}{E_k} = 2\qquad \text{……… 0,5 точки}

б) $F_{\text{п}} = ma_{\text{п}} = m\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^{2}R$ или $\gamma\dfrac{mM}{R^{2}} = m\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^{2}R$ ……… 1 точка

откъдето изразяваме масата $M$ на планетата

M = \frac{4\pi^{2}R^{3}}{\gamma T^{2}}\qquad \text{……… 1 точка}

M = 6.10^{18}\ \mathrm{kg}\qquad \text{……… 1 точка}

в) Голямата полуос на изродената орбита е $a = R/2$ ……… 1 точка

Периодът $T_1$ на движение по такава орбита се определя от закона на Кеплер

\left(\frac{T_1}{T}\right)^{2} = \left(\frac{R/2}{R}\right)^{3},\qquad T_1 = \frac{T\sqrt{2}}{4}\qquad \text{……… 1 точки}

Времето на падане е равно на полупериода $t = T_1/2$ ……… 1 точка

t = \frac{T\sqrt{2}}{8} = 5{,}55.10^{4}\ \mathrm{s}\qquad \text{……… 1 точка}

Част 2.

г) От симетрията следва, че телата ще се сблъскат в центъра на квадрата. ……… 1 точка

д) В началния момент на всяко тяло действа гравитационна сила с големина

F = \gamma\frac{mm}{R^{2}}\left(\frac{2\sqrt{2}+1}{4}\right)\qquad \text{……… 1 точка}

насочена към центъра на квадрата. Във всеки момент по време на движението четирите тела се намират във върховете на квадрат, чийто диагонал $2r$ непрекъснато намалява. Моментната стойност на силата, която действа на дадено тяло е $F = \gamma\dfrac{mm}{r^{2}}\left(\dfrac{2\sqrt{2}+1}{4}\right)$ . Това е същата сила, която би действала на тяло с маса $m$ , което се намира на разстояние $r$ от неподвижен силов център с маса

M = m\left(\frac{2\sqrt{2}+1}{4}\right)\qquad \text{……… 2 точки}

т.е. в центъра на квадрата.

По този начин задачата се свежда до ситуацията, разгледана в подусловие в) – падане без начална скорост към неподвижен силов център.

Периодът $T$ на движението по кръгова орбита с радиус $R$ около силовия център се определя както в подусловие б)

T = 2\pi\sqrt{\frac{R^{3}}{\gamma M}}\qquad \text{……… 0,5 точки}

От закона на Кеплер $\left(\dfrac{T_1}{T}\right)^{2} = \left(\dfrac{R/2}{R}\right)^{3}$ определяме периода на движение по изродената орбита

T_1 = \pi\sqrt{\frac{R^{3}}{2\gamma M}}\qquad \text{……… 0,5 точки}

Времето на падане е равно на полупериода

t = \frac{T_1}{2} = \pi\sqrt{\frac{R^{3}}{8\gamma M}} = \pi\sqrt{\frac{R^{3}}{2\gamma m\left(2\sqrt{2}+1\right)}}\qquad \text{……… 1 точка}

Допълнение

(за тези, които обичат да смятат)

Задачата за падане към гравитационен силов център

Записваме уравнението на движение (1) $m\dfrac{dv}{dt} = -\gamma\dfrac{mM}{r^{2}}$ .

От закона за запазване на енергията $\dfrac{mv^{2}}{2} - \gamma\dfrac{mM}{r} = -\gamma\dfrac{mM}{R}$ изразяваме скоростта $v = \sqrt{2\gamma M\left(\dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{R}\right)}$ , откъдето получаваме

(2)\qquad dv = -\frac{\gamma M}{r^{2}\sqrt{2\gamma M\left(\dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{R}\right)}}\,dr.

Заместваме $dv$ в уравнение (1) и след интегриране получаваме

t = \int_{R}^{0} \frac{dr}{\sqrt{2\gamma M\left(\dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{R}\right)}} = \pi\sqrt{\frac{R^{3}}{8\gamma M}}.

[Бележка от източника: В последния интеграл границите са отпечатани от $R$ до 0 без предходен знак минус. Запазен е оригиналният израз.]

Данни и физични константи; Полезни формули

Данни и физични константи:

Електрична константа $\varepsilon_0 = 8{,}89.10^{-12}$ F/m;

Константа в закона на Кулон $k = 9{,}00.10^{9}$ N.m $^{2}$ /C $^{2}$ ;

Универсална газова константа $R$

Полезни формули:

· Трети закон на Кеплер. Квадратите на периодите на две планети се отнасят както кубовете на големите полуоси на техните елиптични орбити

\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{3}\qquad \text{(при движение по кръгова орбита } a = R\text{)}.

Приближена формула: $(1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x$ , когато $x \ll 1$

Бележка от източника

Електричната константа е отпечатана като $8{,}89.10^{-12}$ F/m. След „Универсална газова константа $R$ “ няма числена стойност, а гравитационната константа не е включена в списъка. Отпечатаният списък е запазен.

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf