Съдържание

НОФ 2004, III кръг (национален) — Задача 3. Две концентрични метални сфери

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2004

Национален кръг на олимпиадата по физика 2004, теоретичен кръг · 8 май 2004 г. · 15 т.

Условие

На две концентрични метални сфери с радиуси $a$ и $b$ ( $a < b$ ) са придадени заряди $+q$ и $-q$ съответно ( $q > 0$ ). Сферите са разположени във вакуум. Дебелините на сферите са много по-малки от техните радиуси.

а) Получете израз за интензитета $E$ на електричното поле в точка $A$ на разстояние $r$ от центъра на сферите. Разгледайте всички възможни положения на т. $A$ спрямо сферите. Представете зависимостта на $E$ от $r$ графично. [5 точки]

б) Като приемете центъра на сферите като точка с нулев потенциал,.получете израз за потенциала $\varphi$ на електричното поле в точка $A$ на разстояние $r$ от центъра на сферите. Разгледайте всички възможни положения на т. $A$ спрямо сферите. Представете зависимостта на $\varphi$ от $r$ графично. [5 точки]

в) Пространството между сферите е запълнено с течност, която има диелектрична проницаемост $\varepsilon = 10$ . Поради слабата проводимост на течността зарядът върху сферите намалява с 5 % в продължение на време $\Delta t = 50$ s. Пресметнете числено специфичното съпротивление $\rho$ на течността и оценете грешката на получения резултат. [5 точки]

Решение

а) От теоремата на Гаус следва, че:

E(r).4\pi r^{2} = \frac{Q(r)}{\varepsilon_0},

където $Q(r)$ е пълният заряд, ограден от сфера с радиус $r$ . Възможни са три случая:

Точката $A$ е във вътрешността на вътрешната сфера, т.е. $r < a$ . Тогава $Q(r) = 0$ .
Точката $A$ се намира между двете сфери, т.е $a.< r < b$ . Тогава тогава повърхността с радиус $r$ загражда само вътрешната сфера, т.е. $Q(r) = q$ .
Точката $A$ е извън външната сфера, т.е $r > b$ . Тогава тогава повърхността с радиус $r$ загражда и двете сфери, т.е. $Q(r) = +q - q = 0$ .

Следователно:

E(r) = \begin{cases}0 & \text{при } r < a \text{ или при } r > b;\\[6pt] \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}} & \text{при } a < r < b.\end{cases}

[5 т.]

Оригиналната графика на E(r) с всички означения.

б) Понеже $E(r) = 0$ при $r < a$ , следва, че $\varphi(r) = \mathrm{const}$ при $r < a$ . Тъй като сме приели центъра на сферите ( $r = 0$ ) за точка с нулев потенциал, следва:

(1)\qquad \varphi(r) = 0 \ \text{при}\ r < a.

При $a < r < b$ интензитетът на полето съвпада с този на точков заряд $q$ , разположен в центъра:

\varphi(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} + C,

където $C$ е константа, която зависи от избора на нулево ниво за потенциала. Понеже $\varphi(r)$ е непрекъсната функция, следва, че $\varphi(a) = 0$ . Оттук намираме за $C$ :

C = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}

и окончателно:

(2)\qquad \varphi(r) = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{r}\right)\ \text{при}\ a \le r \le b.

Тъй като $E(r) = 0$ при $r > b$ , следва, че $\varphi(r) = B = \mathrm{const}$ при $r > b$ . Понеже $\varphi(r)$ е непрекъсната функция, следва, че $B = \varphi(b)$ . Оттук намираме:

(3)\qquad \varphi(r) = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)\ \text{при}\ r > b.

[5 т.]

Оригиналната графика на потенциала φ(r).

в) В присъствие на диелектрик електричното поле между двете сфери, на разстояние $r$ от центъра, е:

E(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0 r^{2}}.

Плътността на електричния ток на същото разстояние от центъра е:

J(r) = \frac{E(r)}{\rho} = \frac{q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0\rho r^{2}}

и е насочена радиално. Пълният ток, който преминава през сферична повърхност с радиус $r$ , е следователно:

I = J(r).4\pi r^{2} = \frac{q}{\varepsilon\varepsilon_0\rho}.

Тъй като за интервала $\Delta t$ големината на заряда намалява с 5 %, можем да приемем с относителна грешка 5 %, че големината на тока остава постоянна. Тогава за преминалия заряд имаме:

\Delta q \approx I\Delta t

или

0.05q \approx \frac{q\Delta t}{\varepsilon\varepsilon_0\rho}.

От последното уравнение намираме:

\rho \approx \frac{\Delta t}{0{,}05\varepsilon\varepsilon_0} \approx 1{,}1.10^{13}\ \Omega.\mathrm{m}.\qquad \textbf{[5 т.]}

Данни и физични константи; Полезни формули

Данни и физични константи:

Електрична константа $\varepsilon_0 = 8{,}89.10^{-12}$ F/m;

Константа в закона на Кулон $k = 9{,}00.10^{9}$ N.m $^{2}$ /C $^{2}$ ;

Универсална газова константа $R$

Полезни формули:

· Трети закон на Кеплер. Квадратите на периодите на две планети се отнасят както кубовете на големите полуоси на техните елиптични орбити

\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{3}\qquad \text{(при движение по кръгова орбита } a = R\text{)}.

Приближена формула: $(1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x$ , когато $x \ll 1$

Бележка от източника

Електричната константа е отпечатана като $8{,}89.10^{-12}$ F/m. След „Универсална газова константа $R$ “ няма числена стойност, а гравитационната константа не е включена в списъка. Отпечатаният списък е запазен.

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf