Съдържание

НОФ 2005, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 2. Трептене на айсберг

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2005

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. Олимпиада по физика. Областен кръг, 27 март 2005 г. Тема за 10-12 клас · 27 март 2005 г. · 10 т.

Условие

Цилиндричен айсберг с височина $l = 10\ \mathrm{m}$ плава, потопен на дълбочина $0{,}9l$ , като оста на цилиндъра е вертикална (вж. фиг. 2). Земното ускорение е $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ .

Вертикален цилиндричен айсберг, частично потопен под хоризонтална линия на водната повърхност; вляво стрелка за потопената дълбочина 0,9l, вдясно стрелка за цялата височина l. — Фиг. 2

а) Айсбергът е изведен от състояние на равновесие, след което продължава да трепти във вертикално направление. Пресметнете периода $T$ на трептенето. [4 т.]

б) Известно е, че скоростта $u$ на вълните по повърхността на дълбок водоем е свързана с тяхната дължина $\lambda$ чрез съотношението:

u = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}.

Определете дължината $\lambda$ на вълните, породени от трептенето на айсберга. [2 т.]

в) Към айсберга се движи лодка със скорост $v = 2\ \mathrm{m/s}$ . Намерете периода $T_1$ , с който ще се люлее лодката под действие на вълните, предизвикани от трептенето на айсберга. [4 т.]

Отговори

Решение

а) В състояние на равновесие (положение а на чертежа) върху айсберга действат Архимедова сила и сила на тежестта, които се уравновесяват:

F_A = G \qquad (0{,}5\ т)

Архимедовата сила е равна на теглото на изместената от подводната част на айсберга течност:

F_A = \rho(0{,}9lS)g, \qquad (0{,}5\ т)

където $S$ е площта на напречното сечение на цилиндъра. Като вземем предвид, че $G = mg$ , изразяваме масата на айсберга:

m = 0{,}9\rho lS \qquad (0{,}5\ т)

Ако айсбергът е изведен от състояние на равновесие, като е отместен на разстояние $x$ нагоре (положение б на чертежа), дълбочината на потапяне става:

h = 0{,}9l - x,

а Архимедовата сила съответно намалява:

F_A' = \rho(0{,}9l - x)gS. \qquad (0{,}5\ т)

Следователно възниква равнодействаща, връщаща сила, насочена надолу:

F = mg - F_A' = \rho gSx, \qquad (0{,}5\ т)

като при получаване на второто равенство сме използвали израза за масата на айсберга. От получения израз следва, че връщащата сила е пропорционална на отместването с коефициент на пропорционалност:

k = \rho gS. \qquad (0{,}5\ т)

Следователно, айсбергът извършва хармонично трептене с период:

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}9l}{g}} \qquad (0{,}5\ т)

или $T \approx 6{,}0\ \mathrm{s}$ . (0,5 т)

б) Дължината на вълната се изразява чрез скоростта на разпространение и периода на трептене чрез формулата:

\lambda = uT. \qquad (0{,}5\ т)

Като използваме дадения израз за скоростта на разпространение, получаваме уравнението:

\lambda = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}T, \qquad (0{,}5\ т)

откъдето намираме:

\lambda = \frac{gT^2}{2\pi} = 1{,}8\pi l \qquad (0{,}5\ т)

\lambda \approx 56{,}5\ \mathrm{m}. \qquad (0{,}5\ т)

в)

Гребените на вълната се движат със скорост:

u = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}} = \sqrt{0{,}9gl}. \qquad (0{,}5\ т)

Периодът на люлеене на лодката е равен на интервала от време $T_1$ , през който до лодката стигат два последователни вълнови гребена. (1,0 т)

След преминаване на първия гребен, до срещата със следващия гребен, лодката изминава разстояние $vT_1$ . За същото време, следващия гребен се премества към лодката на разстояние $uT_1$ . Понеже разстоянието между гребените е $\lambda$ (вж. фигурата), следва:

vT_1 + uT_1 = \lambda, \qquad (1{,}0\ т)

откъдето определяме:

T_1 = \frac{\lambda}{u+v} = \frac{1{,}8\pi l}{v + \sqrt{0{,}9gl}}. \qquad (1{,}0\ т)

или $T_1 \approx 5{,}0\ \mathrm{s}$ . (0,5 т)

Указание: По подусловие в) се дава максимален брой точки и на тези ученици, които получават правилен израз и правилна числена стойност за периода, като използват познатите им формули за ефекта на Доплер (Учебна програма по физика за 9. клас – профилирана подготовка).

Два чертежа на цилиндричния айсберг: а) в равновесие, потопен на 0,9l от височина l, със сили F_A нагоре и G надолу; б) отместен нагоре на x, потопен на 0,9l − x, със сили F'_A и G.

Вълнова повърхност с лодка; отбелязани разстояния uT1 и vT1 над нея, а под нея дължината на вълната λ между два гребена.

Оригинал в Архива: 10-12.pdf