Съдържание

НОФ 2005, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 3. Дифракционна решетка.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2005

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. Олимпиада по физика. Областен кръг, 27 март 2005 г. Тема за 10-12 клас · 27 март 2005 г. · 10 т.

Условие

Два снопа монохроматична светлина от видимата област с дължини на вълните съответно $\lambda_1$ и $\lambda_2$ [ $\lambda_1, \lambda_2 \in$ (400 nm – 760 nm )] падат перпендикулярно върху дифракционна решетка с константа $d = 6\ \mu\mathrm{m}$ . Върху отдалечен екран се получават дифракционни картини, като. под ъгъл $\theta_0$ ( $\sin\theta_0 = 0{,}55$ ) спрямо първоначалното направление на разпространение се наблюдават съвпадащи максимуми на двете вълни.

а) Определете възможните номера на съвпадащите максимуми [3 т.]

Ако едната дифракционна картина съдържа 8 максимума повече от другата, намерете:

б) дължините на вълните $\lambda_1$ и $\lambda_2$ ; [2 т.]

в) броя N $_1$ и N $_2$ максимуми за двете дифракционни картини; [1 т.]

г) номерата k $_1$ и k $_2$ на съвпадащите максимуми, наблюдаващи се под ъгъл $\theta_0$ . [1 т.]

д) Ако има други съвпадащи максимуми, определете техните номера и ъглите (или техните синуси), под които те се наблюдават [3 т.]

Отговори

Решение

а) основното уравнение на дифракционната решетка е

d\sin\theta = k\lambda \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (1)

откъдето

k = \frac{d\sin\theta}{\lambda} \qquad (2)

При $d = 6\ \mu\mathrm{m}$ , $\sin\theta_0 = 0{,}55$ и $\lambda \in$ (400 nm – 760 nm ), за възможните номера на съвпадащите максимуми се получава

k \in \left(\frac{6.0{,}55\mu m}{0{,}76\mu m}, \frac{6.0{,}55\mu m}{0{,}4\mu m}\right) \text{ или } k \in (4{,}34 \div 8{,}25) \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (3)

тъй като $k$ е цяло число $k \in (5,6,7,8)$ [1 т] (4)

б, в, г) Знаейки възможните номера на съвпадащите максимуми, чрез проверка можем да намерим всички възможни дължини на вълните $\lambda_1$ и $\lambda_2$ , най-големия номер на наблюдаван максимум $k_{\max}$ , броят максимуми N $_1$ и N $_2$ и разликата в техния брой N $_2$ - N $_1$ . $k_{\max} = \left[\dfrac{d}{\lambda}\right]$ , като с [] се бележи цяла част на число, а N = 2 $k_{\max}$ +1:

k $_1$	k $_2$	$\lambda_1$ , nm	$\lambda_2$ , nm	k $_{1\max}$	k $_{2\max}$	N $_1$	N $_2$	N $_2$ – N $_1$
5	6	660	550	9	10	19	21	2
5	7	660	471,4	9	12	19	25	6
5	8	660	412,5	9	14	19	29	10
6	7	550	471,4	10	12	21	25	4
6	8	550	412,5	10	14	21	29	8
7	8	471,4	412,5	12	14	25	29	4

От таблицата се вижда, че само за номера на максимумите $k_1 = 6$ и $k_2 = 8$ , едната дифракционна картина съдържа 8 максимума повече от другата [1 т]. Това е изпълнено за дължините на вълните $\lambda_1$ = 550 nm и $\lambda_2$ = 412,5 nm [2 т]. Съответно общия брой максимуми на двете дифракционни картини е N $_1$ = 21 и N $_2$ = 29 [1 т].

д) тъй като условието за съвпадение на максимуми е

d\sin\theta = k_1\lambda_1 = k_2\lambda_2, \text{ то}

$\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1} = \dfrac{k_1}{k_2}$ , което в нашия случай е $\dfrac{6}{8}$ . Следователно и други максимуми, чието отношение е $\dfrac{6}{8}$ , ще съвпадат. Това е изпълнено за максимуми с номера 3 и 4 за $\lambda_1$ и 9 и 12 за $\lambda_2$ [2 т]. Синусите на ъглите, под които те ще се наблюдават са съответно $\sin\theta_{3,4} = 0{,}275$ и $\sin\theta_{9,12} = 0{,}875$ [1 т].

Оригинал в Архива: 10-12.pdf