НОФ 2005, III кръг (национален) — Задача 2. Бетатрон

Национална олимпиада по физика — 2005 г. · 15 т.

Условие

Бетатронът е ускорител на електрони. Магнитното поле на ускорителя има осева симетрия. То се изменя с течение на времето и поражда вихрово електрично поле, което ускорява електроните. Силовите линии на вихровото поле са концентрични окръжности, чиито центрове лежат на оста на симетрия. В бетатрона електроните се движат по кръгова орбита с постоянен радиус.

Тази задача илюстрира принципа на действие на бетатрона. При решаването на задачата не се отчитат релативистки ефекти.

Два коаксиални соленоида (дълги намотки) с радиуси $R=1\ \mathrm{cm}$ и $2R$ са поставени във вакуумна камера. Двете намотки имат еднаква плътност на навивките $n=1{,}0\cdot10^4$ навивки/метър. Токовете в намотките имат еднаква посока (фиг. 2, а). Токът във външната намотка нараства от $I=0$ в началния момент $t=0$ с постоянна скорост $\Delta I/\Delta t=2{,}0\ \mathrm{A/s}$. Токът във вътрешната намотка нараства със скорост $2\Delta I/\Delta t$, така че във всеки момент токът във вътрешната намотка е 2 пъти по-голям от тока $I$ във външната намотка.

а) Пресметнете индукцията на магнитното поле във вътрешната намотка в момента $t=2\ \mathrm s$. [3 т.]

б) Пресметнете индукцията на магнитното поле между двете намотки в момента $t=2\ \mathrm s$. [1 т.]

в) Представете магнитния поток $\Phi$ през кръг с радиус $r$ ($R<r<2R$) (фиг. 2, б) като функция на тока $I$. [1 т.]

г) Представете интензитета $E$ на индуцираното вихрово електрично поле като функция на разстоянието $r$ от оста на соленоидите ($R<r<2R$). [2 т.]

Указание. Силовите линии на вихровото електрично поле са концентрични окръжности, чиито центрове лежат върху оста на соленоидите. Окръжността с радиус $r$ от фиг. 2, б съвпада с една от силовите линии.

Електрон, който в началния момент $t=0$ се намира в покой в пространството между двете намотки, под действие на електромагнитните сили започва да се движи по кръгова орбита.

д) Пресметнете радиуса $R_e$ на орбитата на електрона. [4 т.]

е) Колко електронволта е кинетичната енергия на електрона в момента $t=2\ \mathrm s$? [2 т.]

ж) Колко обиколки по тази орбита е направил електронът за време $t=2\ \mathrm s$? [2 т.]

Магнитната константа:

специфичният заряд на електрона:

Полезна формула: Индукция на магнитното поле в дълъг соленоид: $B=\mu_0nI$.

Решение

---

Оригинал в Архива: 2005_zad1.jpg · допълнителни данни: 2005_zad2.jpg · допълнителни данни: 2005_zad3.jpg