НОФ 2005, III кръг (национален) — Задача 4

Национална олимпиада по физика — 2005 г. · 15 т.

Условие

Приема се, че формирането на звездите започва с процеса на свиване на водороден газ под действие на силите на гравитационното привличане. При свиването на газа температурата му нараства. Налягането на нагретия газ противодейства на гравитационното свиване. Поради излъчване на електромагнитни вълни, газът губи от енергията на топлинното движение и свиването продължава до започване на термоядрени реакции, които поддържат температура T0=107 KT_0=10^7\ \mathrm K и звездата достига равновесие.

а) Като приемете, че Слънцето е звезда с маса M=2⋅1030 kgM=2\cdot10^{30}\ \mathrm{kg} и постоянна плътност, оценете неговия радиус RR и плътността му ρ\rho. [4,5 т.]

Съществуват малки звезди с маса приблизително равна на масата на Слънцето, в които водородът се е превърнал в хелий. Поради високата температура (≈107 K\approx10^7\ \mathrm K) атомите на хелия са йонизирани и можем да разглеждаме звездата, съставена от хелиеви ядра и електрони. Такава звезда се свива под действие на гравитационните сили, докато енергията й достигне минимална стойност при даден радиус RR. Енергията на топлинното движение на частиците е пренебрежима спрямо кинетичната енергия на локализацията им, определена от съотношението за неопределеност на Хайзенберг

ΔxΔpx=ℏ.\Delta x\Delta p_x=\hbar.

б) Покажете, че енергията на локализация на ядрата е пренебрежима спрямо енергията на локализация на електроните. [3 т.]

в) Оценете радиуса RR и плътността ρ\rho на такава звезда, като приемете, че обемът на локализация на един електрон е VN\dfrac VN, където VV е обемът на звездата, а NN — броят на електроните. [7,5 т.]

Фундаментални константи

Маса на електрона me=9,1⋅10−31 kgm_e=9{,}1\cdot10^{-31}\ \mathrm{kg}

Маса на протона mp=1,67⋅10−27 kgm_p=1{,}67\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}

Константа на Планк ℏ=1,05⋅10−34 J.s\hbar=1{,}05\cdot10^{-34}\ \mathrm{J.s}

Константа на Болцман k=1,38⋅10−23 J/Kk=1{,}38\cdot10^{-23}\ \mathrm{J/K}

Гравитационна константа γ=6,67⋅10−11 N.m2/kg2\gamma=6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N.m^2/kg^2}

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива няма официално решение на тази задача.

Оригинал в Архива: 2005_zad1.jpg · допълнителни данни: 2005_zad2.jpg · допълнителни данни: 2005_zad3.jpg