Съдържание

НОФ 2006, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1. Скиор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. Олимпиада по физика. Областен кръг, 26 март 2006 г. Тема за 10.–12. клас · 26 март 2006 г. · 10 т.

Условие

Скиор с маса $m = 60\ \mathrm{kg}$ се спуска с нулева начална скорост по писта с формата на дъга от окръжност (фиг. 1). В най-ниската си част пистата е хоризонтална. Разликата във височините между началото и края на пистата е $H = 20\ \mathrm{m}$ , а разстоянието между тях в хоризонтално направление – $L = 200\ \mathrm{m}$ .

Приемете, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Ако пренебрегнете триенето между ските и снега и съпротивлението на въздуха, пресметнете:

Профил на пистата: дъга, спускаща се отляво надясно от височина H до хоризонтална основа с дължина L; вляво е отбелязана височината H с фигурна скоба, отдолу – L. — Фиг. 1

а) скоростта, с която скиорът достига края на пистата; [2 т.]

б) силата на натиск, която скиорът оказва върху снега в най-долната част от пистата; [3 т.]

в) ускорението на скиора в момента на тръгването от най-горната точка. [3 т.]

г). времето за спускане на скиора. [2 т.]

Упътване: Радиусът $R$ на пистата е свързан с $H$ и $L$ чрез формулата:

R = \frac{L^2 + H^2}{2H}

Отговори

Решение

Приведените решения са примерни. При алтернативни решения, работата се оценява по критерии на комисията, като се съблюдават максималния брой точки по всяка задача и всяко подусловие.

Задача 1. Скиор

а) Понеже силите на триене и на съпротивление се пренебрегват, механичната енергия на скиора се запазва:

\frac{mv^2}{2} = mgH.

\Rightarrow v = \sqrt{2gH}

или $v = 20\ \mathrm{m/s}$ .

б) В края на пистата скиорът има центростремително ускорение, насочено вертикално:

a_c = \frac{v^2}{R},

където $R$ е радиусът на пистата.

Това ускорение е резултат от действието на силата на тежестта $G$ и силата на нормална реакция $N$ на опората:

m\frac{v^2}{R} = N - mg.

Според III принцип на нютон силата на натиск $P$ , която скиорът оказва върху снега, е равна по големина на силата на нормална реакция:

P = N = mg + m\frac{v^2}{R}.

Като заместим изразите за скоростта и за радиуса на кривината, намираме:

P = mg\left(1 + \frac{4H^2}{L^2 + H^2}\right)

или $P \approx 624\ \mathrm{N}$ .

в) В момента на тръгването скиорът има единствено тангенциално ускорение, насочено по допирателна към повърхността. Въвеждаме ос $x$ по допирателната и ос $y$ към центъра $O$ на кривината. От II принцип на Нютон следва:

$m\vec{a} = \vec{G} + \vec{N}$ или:

по $x$ : $ma = mg\sin\alpha$

по $y$ : $N = mg\cos\alpha$ ,

където $\alpha$ е ъгълът, който сключва допирателната с хоризонта. От чертежа следва:

\sin\alpha = \frac{L}{R} = \frac{2LH}{L^2 + H^2}

\cos\alpha = \frac{R - H}{R} = \frac{L^2 - H^2}{L^2 + H^2}.

Така, за ускорението намираме:

a = \frac{2LHg}{L^2 + H^2}

или $a \approx 1{,}98\ \mathrm{m/s^2}$ ,

а за силата на натиск:

P = N = mg\frac{L^2 - H^2}{L^2 + H^2}

или $P \approx 588\ \mathrm{N}$ .

г) Движението на скиора по кръгова траектория с радиус $R$ е еквивалентно на движението на математично махало с дължина $l = R$ . Времето, за което скиорът изминава пистата съответства на ¼ от периода на трептене на махалото:

t = \frac{T}{4}.

Понеже началният ъгъл на отклонение спрямо вертикалата е малък, можем да приложим формулата:

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}.

Като заместим с израза за $R$ , намираме окончателно:

t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{L^2 + H^2}{2gH}}

или $t \approx 15{,}8\ \mathrm{s}$ .

Указания за оценяване на задача 1.

а) Общо: 2 точки

Правилно е записан законът за запазване на енергията:	1 т.
Получен е буквен израз за скоростта:	0,5 т.
Пресметната е числената стойност на скоростта:	0,5 т.

б) Общо: 3 точки

Нарисуван е чертеж с правилно означени посоки на силите	0,5 т.
Записан е израз за центростремителното ускорение:	0,5 т.
Правилно е записан II принцип на Нютон:	0,5 т
Силата на натиск е изразена чрез III принцип на Нютон:	0,5 т
Получен е буквен израз за силата на натиск:	0,5 т.
Числената стойност е пресметната с поне 2 верни значещи цифри след закръгляване:	0,5 т.

в) Общо: 3 точки

Законът на Нютон е записан правилно по компоненти:	1 т.
Получен е буквен израз за ускорението:	0,5 т.
Ускорението е пресметнато с 2 верни значещи цифри:	0,5 т.
Получен е буквен израз за силата на натиск:	0,5 т.
Силата на натиск е пресметната с поне 2 верни значещи цифри след закръгляване:	0,5 т.

г) Общо: 2 точки

Използвана е аналогия с движението на мат. махало:	0,5 т.
Записан е правилен израз за периода на мат. махало:	0,5 т
Получен е буквен израз за времето на спускане:	0,5 т
Времето е пресметнато с поне 2 верни значещи цифри след закръгляване:	0,5 т.

Чертеж към решението: дъга на пистата с височина H и хоризонтална дължина L; центърът на кривината O горе вдясно, радиус R по пунктир до началната точка и вертикално надолу до крайната точка, ъгъл α при O; в началната точка са показани силите G и N, ускорението a и осите x (по допирателната) и y (към O); в крайната точка — N, G и центростремителното ускорение a_c.

Оригинал в Архива: 10-12.pdf