Съдържание

НОФ 2006, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 3. Генератор и антени

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. Олимпиада по физика. Областен кръг, 26 март 2006 г. Тема за 10.–12. клас · 26 март 2006 г. · 10 т.

Условие

Схема: генератор S, свързан с кабели към две антени A1 и A2 на разстояние d по една права; вляво на правата е приемникът D1; от A2 излиза пунктирна стрелка „Към приемника D2“ под ъгъл α спрямо правата A1A2. — Фиг. 3

а) Генераторът на електромагнитни трептения в радиостанция съдържа електрически трептящ кръг, който се състои от кондензатор с капацитет $C = 1{,}0\ \mathrm{nF}$ и намотка с неизвестна индуктивност $L$ . Пресметнете индуктивността на намотката, ако е известно, че радиостанцията излъчва електромагнитни вълни с дължина $\lambda = 1{,}0\ \mathrm{m}$ . [2 т.]

б) Генераторът $S$ е свързан едновременно към две антени $A_1$ и $A_2$ чрез кабели с еднакви дължини (вж. фиг. 3). На какво най-малко разстояние $d_1$ трябва да бъдат поставени антените, така че приемникът $D_1$ , разположен върху правата $A_1A_2$ , да не може да регистрира тяхното излъчване. [2,5 т.]

в) Приемникът $D_2$ е поставен на разстояние $L = 1000\ \mathrm{m}$ от средата на отсечката $A_1A_2$ в направление, което сключва ъгъл $\alpha = 30^{\circ}$ с правата $A_1A_2$ (вж. фиг. 3). На какво най-малко, ненулево разстояние $d_2$ трябва да бъдат поставени антените, така че приемникът да регистрира сигнал с максимален интензитет. [3 т.]

г) Антените са свързани към източника чрез кабели с различни дължини, такива че сигналът; който достига антената $A_2$ закъснява с $\Delta t = 4{,}0.10^{-9}\ \mathrm{s}$ спрямо сигнала, който достига антената $A_1$ . На какво най-малко разстояние $d_3$ трябва да бъдат поставени антените в този случай, така че приемникът $D_1$ да регистрира излъчване с максимален интензитет. [2,5 т.]

Скоростта на светлината във вакуум е $c = 3{,}0.10^8\ \mathrm{m/s}$ . Периодът на електромагнитните трептения в електрически трептящ кръг е $T = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Отговори

Решение

Задача 3. а) От формулата за периода изразяваме честотата на електромагнитните трептения:

\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.

От връзката $\lambda\nu = c$ , получаваме:

\frac{\lambda}{2\pi\sqrt{LC}} = c,

откъдето намираме:

L = \frac{1}{C}\left(\frac{\lambda}{2\pi c}\right)^2

или $L \approx 2{,}8.10^{-10}\ \mathrm{H}$ .

б) Разликата в пътищата, които изминават вълните, излъчени от двете антени до приемника, е:

s_2 - s_1 = d.

Приемникът няма да регистрира сигнал, ако двете вълни се гасят вследствие на интерференция. За целта, разликата в пътищата трябва да бъде:

d = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda, \qquad (k = 0,1,2,3...).

Най-малкото разстояние между антените съответства на $k = 0$ :

d_1 = \frac{\lambda}{2} = 0{,}5\ \mathrm{m}.

в) Понеже приемникът е разположен на такова разстояние от антените, което значително превишава $d$ , лъчите, достигащи приемника, са практически успоредни. От фигурата се вижда, че разликата в пътищата на двете вълни при това условие се дава с израза:

s_1 - s_2 = d\cos\alpha

От условието за интерференчен максимум:

d\cos\alpha = k\lambda, \qquad (k = 0,1,2,3...)

намираме, че най-малкото ненулево разстояние съответства на $k = 1$ . Следователно:

d_2 = \frac{\lambda}{\cos\alpha} \approx 1{,}15\ \mathrm{m}.

г) В този случай закъснението на радиосигнала е такова, като че ли вълната, излъчена от $A_2$ е изминала допълнителен път:

s' = c\Delta t = 1{,}2\ \mathrm{m}.

Следователно условието за максимален сигнал в приемника $D_1$ се записва като:

s_2 + c\Delta t - s_1 = k\lambda,

откъдето

d = k\lambda - c\Delta t

Най-малката стойност на $d$ съответства на $k = 2$ . Следователно:

d_3 = 2\lambda - c\Delta t = 0{,}8\ \mathrm{m}.

Указания за оценяване на задача 3.

а) Общо 2 точки

Използвана е връзката $\lambda\nu = c$ ( $\lambda = cT$ ):	1 т.
Получен е буквен израз за $L$ :	0,5 т.
Пресметната е числената стойност на $L$ с поне две верни значещи цифри след закръгляване:	0,5 т.

(По последния елемент не се дават точки, ако не е записана размерността на $L$ )

б) Общо 2,5 точки

Използвано е условие за интерференчен минимум:	1 т.
Правилно подбрана стойност на $k$ и буквен израз за $d_1$ :	1 т.
Числена стойност за $d_1$ :	0,5 т.

в) Общо 3 точки

Разликата в пътищата е изразена чрез

\alpha

1 т.

(Пълен брой точки по този елемент се дават и на учениците, които не са използвали приближението на успоредни лъчи, а са получили точен израз за разликата в пътищата: $s_1 - s_2 = \sqrt{L^2 + d^2/4 + Ld\cos\alpha} - \sqrt{L^2 + d^2/4 - Ld\cos\alpha}$ ).

Използвано е условие за интерференчен максимум:	1 т.
Получен е израз за $d_2$ :	0,5 т.

(Пълен брой точки по този елемент се дават и на учениците, които не са използвали приближението на успоредни лъчи, а са получили точния израз за разстоянието: $d_2 = \dfrac{\lambda\sqrt{(4L^2\cos^2\alpha - \lambda^2)(4L^2 - \lambda^2)}}{(4L^2\cos^2\alpha - \lambda^2)}$ ).

Пресметната е числената стойност на

d_2

с поне две верни значещи цифри след закръгляване:

0,5 т.

г) Общо 2,5 точки

Получен е израз за допълнителния път поради закъснението на втората вълна:	0,5 т.
Използвано е условие за интерференчен максимум:	0,5 т.
Подбрана е правилна стойност на $k$ и е получен израз за $d_3$ :	1 т.
Пресметната е числената стойност на $d_3$ :	0,5 т.

Чертеж към решението: антените A1 и A2 на разстояние d по пунктирна права; от всяка излиза стрелка под ъгъл α спрямо правата; пунктирен перпендикуляр от A2 към лъча от A1 отсича пътната разлика s1 − s2.

Оригинал в Архива: 10-12.pdf