Съдържание

НОФ 2006, III кръг (национален), вариант 2 — Задача 1. Изменение на периода на въртене на Земята поради приливното триене

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2006

НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА, 2006 г. — Задачи от теоретичния кръг · 6 май 2006 г. · 15 т.

Внимание: Бележка към темата

Сканираното копие е непълно: краят на условието на задача 4 (продължението на подточка г) и подточка д)) е закрит в архивния файл; решенията на тези подточки са налични.

Условие

Поради силите на триене движението на водата в океаните и моретата при прилив и отлив е съпроводено с отделяне на топлина. Затова механичната енергия на системата Земя—Луна намалява, което води до нарастване на разстоянието $r$ между Земята и Луната и увеличаване на периода на въртене на Земята около нейната ос. За една година разстоянието между Земята и Луната нараства с $\Delta r = 4\ \mathrm{cm}$ .

Разгледайте опростен модел, в който Луната се приема за материална точка с маса $m = 7{,}33.10^{22}\ \mathrm{kg}$ , която се върти около Земята по кръгова орбита с радиус $r_0 = 3{,}84.10^{8}\ \mathrm{m}$ . Земята е твърдо тяло с маса $M = 5{,}98.10^{24}\ \mathrm{kg}$ и инерчен момент $I = 4{,}00.10^{37}\ \mathrm{kg.m^2}$ , което се върти около ос на симетрия, перпендикулярна на орбитата на Луната (вж. фиг. 1). Системата Земя—Луна да се разглежда като затворена система. Приемете, че оста на въртене на Земята не променя ориентацията си, а Луната през цялото време се движи по кръгова орбита.

Гравитационната константа е

\gamma = 6{,}67.10^{-11}\ \mathrm{N.m^2/kg^2}.

Земята (глобус с означена ос на въртене и стрелка с ъгловата скорост ω) в центъра на кръговата орбита на Луната, нарисувана в перспектива като елипса; Луната е точка на орбитата, до която е означена ъгловата скорост Ω и стрелка за посоката на движение. — Фиг. 1

а) Пресметнете ъгловата скорост $\Omega$ на орбиталното движение на Луната. [2 т.]

б) Представете ъгловата скорост $\omega$ на въртене на Земята около нейната ос като функция на изменението на разстоянието $\Delta r$ между Земята и Луната. Отчетете, че $\Delta r \ll r_0$ . [4 т.]

в) Представете нарастването $\Delta T$ на периода на въртене на Земята около нейната ос като функция от $\Delta r$ . [2 т.]

г) С колко секунди ще нарасне земното денонощие за една година? [1 т.]

д) Представете изменението $\Delta E$ на механична енергия на системата Земя—Луна като функция от $\Delta r$ . [5 т.]

е) С колко джаула ще намалее механичната енергия на системата Земя—Луна за една година поради приливното триене? [1 т.]

Автор: доц. М. Максимов

Отговори

Решение

а) Луната се движи по кръгова орбита под действие на гравитационната сила, с която я привлича Земята:

(1)\qquad \frac{\gamma mM}{r_0^2} = m\Omega_0^2 r_0,

откъдето определяме

(2)\qquad \Omega_0 = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_0^3}}\ \text{(1 т.)}

\Omega_0 = 2{,}65.10^{-6}\ \mathrm{rad/s}.\ \text{(1 т.)}

б) От закона за запазване на момента на импулса на системата Земя—Луна следва равенството

(3)\qquad I\omega + mr^2\Omega = I\omega_0 + mr_0^2\Omega_0.\ \text{(1 т.)}

От уравнения (3) и (2) изразяваме $\omega$

(4)\qquad \omega = \omega_0 + \frac{m}{I}\sqrt{\gamma M}\left(r_0^{1/2} - r^{1/2}\right)\ \text{(1 т.)}

(5)\qquad r_0^{1/2} - r^{1/2} = (r_0^{1/2} - r^{1/2})(r_0^{1/2} + r^{1/2})/(r_0^{1/2} + r^{1/2}) = \frac{-\Delta r}{r_0^{1/2} + r^{1/2}} \approx \frac{-\Delta r}{2r_0^{1/2}}.\ \text{(1 т.)}

(6)\qquad \omega = \omega_0 - \frac{m}{2I}\sqrt{\frac{\gamma M}{r_0}}\Delta r.\ \text{(1 т.)}

в)

(7)\qquad \Delta\omega = \omega - \omega_0 = \frac{2\pi}{T} - \frac{2\pi}{T_0} \approx -\frac{2\pi}{T_0^2}\Delta T

( $T_0 = 24$ часа). (1 т.)

От равенства (6) и (7) получаваме:

(8)\qquad \Delta T = \frac{T_0^2 m}{4\pi I}\sqrt{\frac{\gamma M}{r_0}}\Delta r.\ \text{(1 т.)}

г) $\Delta T = 44{,}4\ \mu\mathrm{s}$ (1 т.)

д) Пълната механична енергия на системата Земя—Луна е

(9)\qquad E = \frac{I\omega^2}{2} + \frac{mr^2\Omega}{2} - \frac{\gamma mM}{r} = \frac{I\omega^2}{2} - \frac{\gamma mM}{2r}

(2 т.)

Заместваме $\omega$ от уравнение (6), полагаме $r = r_0 + \Delta r$ , пренебрегваме члена с $(\Delta r)^2$ и получаваме

(10)\qquad E \approx \frac{I\omega_0^2}{2} - \frac{\gamma mM}{2r_0} - \frac{m}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{r_0}}\omega_0\Delta r + \frac{\gamma mM}{2r_0^2}\Delta r.\ \text{(2 т.)}

Полагаме $E_0 = \dfrac{I\omega_0^2}{2} - \dfrac{\gamma mM}{2r_0}$ — енергия на системата в началния момент, и за изменението на енергията получаваме

(11)\qquad \Delta E = E - E_0 = -\frac{m}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{r_0}}(\omega_0 - \Omega_0)\Delta r.\ \text{(1 т.)}

е) $\Delta E = -1{,}05.10^{20}\ \mathrm{J}$ . (1 т.)

Оригинал в Архива: th_var2_zad.pdf · официални решения: th_var2_resh.pdf