Съдържание

НОФ 2006, III кръг (национален), вариант 2 — Задача 3. Отблъскващи се частици

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2006

НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА, 2006 г. — Задачи от теоретичния кръг · 6 май 2006 г. · 15 т.

Внимание: Бележка към темата

Сканираното копие е непълно: краят на условието на задача 4 (продължението на подточка г) и подточка д)) е закрит в архивния файл; решенията на тези подточки са налични.

Условие

Четири частици с еднакви положителни заряди $q$ са разположени върху една права на еднакви разстояния $r_0$ една от друга (вж. фиг. 3).

Четири кръгчета, номерирани 1, 2, 3, 4, върху пунктирна права; под всяко е означен зарядът q, а над тях двустранни стрелки показват еднаквите разстояния r₀ между съседните частици. — Фиг. 3

а) Намерете големините на електричните сили, които действат върху всяка частица. [3 т.]

б) Определете електричната потенциална енергия на системата. [4 т.]

Двете крайни частици (1 и 4) имат еднакви маси $m$ , а частиците между тях (2 и 3) — еднакви маси $M$ . Частиците са оставени да се движат свободно с нулеви начални скорости под действие единствено на електричните сили. При това се оказва, че през цялото време частиците се намират на еднакви разстояния една от друга.

в) Пресметнете отношението на масите на частиците $\dfrac{M}{m}$ . [4 т.]

г) Определете скоростите на частиците, след като се отдалечат една от друга на разстояния, които значително превишават началното разстояние $r_0$ . [4 т.]

Изразете отговорите чрез заряда на частиците $q$ , масата $m$ на двете крайни частици, началното разстояние $r_0$ и константата $k$ в закона на Кулон.

Автор: доц. В. Иванов

Отговори

Решение

а) Силата, действаща върху заряда 1, е

\vec{F}_1 = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13} + \vec{F}_{14},

където $\vec{F}_{ij}$ е силата, която действа върху заряда $i$ от страна на заряда $j$ . От закона на Кулон и от факта, че всички сили, действащи на заряда 1 са еднопосочни, намираме

F_1 = \frac{kq^2}{r_0^2} + \frac{kq^2}{(2r_0)^2} + \frac{kq^2}{(3r_0)^2} = \frac{49kq^2}{36r_0^2}.\ \text{(1 т.)}

За заряда 2 имаме $\vec{F}_{21} + \vec{F}_{23} = 0$ , откъдето

F_2 = F_{24} = \frac{kq^2}{4r_0^2}.\ \text{(1 т.)}

Поради симетричното разположение на зарядите:

F_3 = F_2;\ \text{(0,5 т.)}

F_4 = F_1.\ \text{(0,5 т.)}

б) Потенциалната енергия на система от заряди е сума от потенциалните енергии на всички двойки заряди в системата

W = \sum W_{ij}.

За 4 заряда има общо 6 различни двойки: 1-2, 2-3, 3-4, 1-3, 2-4, 1-4. Последователно определяме:

W_{12} = W_{23} = W_{34} = \frac{kq^2}{r_0};

W_{13} = W_{24} = \frac{kq^2}{2r_0};

W_{14} = \frac{kq^2}{3r_0}.

(1 т. + 1 т. + 1 т.)

Следователно общата потенциална енергия е

W = 3\frac{kq^2}{r_0} + 2\frac{kq^2}{2r_0} + \frac{kq^2}{3r_0} = \frac{13kq^2}{3r_0}.\ \text{(1 т.)}

в) Частиците се разлитат симетрично спрямо центъра на масите $O$ , който остава неподвижен. Следователно можем да изберем т. $O$ като координатно начало. Ако в даден момент частиците се намират на еднакви разстояния $r$ една от друга, координатите им съответно са:

x_4 = -x_1 = \frac{3}{2}r;\ x_3 = -x_2 = \frac{1}{2}r.

(0,5 т. + 0,5 т.)

Оттук получаваме следното съотношение между координатите на частиците

x_4 = 3x_3 \text{ и } x_1 = 3x_2.

След диференциране по времето намираме за големините на скоростите и ускоренията на частиците

v_1 = 3v_2 \text{ и } a_1 = 3a_2.\ \text{(0,5 т. + 0,5 т.)}

От II принцип на Нютон следва:

\frac{Ma_2}{ma_1} = \frac{F_2}{F_1}.\ \text{(1 т.)}

Според резултата от т. а) при еднакви разстояния между частиците имаме $F_2/F_1 = 9/49$ . Следователно

\frac{M}{m} = \frac{27}{49}.\ \text{(1 т.)}

г) Първоначалната потенциална енергия на зарядите се трансформира изцяло в кинетична енергия, когато те се отдалечат на голямо разстояние един от друг:

\frac{13kq^2}{3r_0} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{Mv_2^2}{2} + \frac{Mv_3^2}{2} + \frac{mv_4^2}{2}.\ \text{(1 т.)}

Като вземем предвид, че $v_1 = v_4$ , $v_2 = v_3 = v_1/3$ и $M = (27/49)m$ , получаваме:

\frac{13kq^2}{3r_0} = \frac{52mv_1^2}{49}\ \text{(1 т.)}

и намираме окончателно:

v_1 = v_4 = \frac{7q}{6}\sqrt{\frac{3k}{mr_0}};

v_2 = v_3 = \frac{7q}{18}\sqrt{\frac{3k}{mr_0}}\ \text{(1 т. + 1 т.)}

Ос x с четирите частици 1, 2, 3, 4 на еднакви разстояния r една от друга и центъра на масите O по средата между 2 и 3; стрелките на скоростите v₁ и v₂ сочат наляво, а v₃ и v₄ — надясно.

Оригинал в Архива: th_var2_zad.pdf · официални решения: th_var2_resh.pdf