Съдържание

НОФ 2006, III кръг (национален), вариант 2 — Задача 4. Планкови дължина, време и маса. Радиус на „черна дупка“

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2006

НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА, 2006 г. — Задачи от теоретичния кръг · 6 май 2006 г. · 15 т.

Внимание: Бележка към темата

Сканираното копие е непълно: краят на условието на задача 4 (продължението на подточка г) и подточка д)) е закрит в архивния файл; решенията на тези подточки са налични.

Условие

а) Изразете размерността на Планковата константа $h$ и гравитационната константа $G$ чрез мерните единици на величините маса, дължина и време. [2 т.]

б) В съвременните физични теории се предполага, че пространството и времето се квантуват. Ако предположите, че големините на квантите за дължина $l_{\mathrm{Pl}}$ и време $t_{\mathrm{Pl}}$ зависят само от Планковата константа $h$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ , намерете формули (с точност до безразмерен множител от порядъка на единица) за техните стойности. [6 т.]

в) изчислете $l_{\mathrm{Pl}}$ и $t_{\mathrm{Pl}}$ , ако

h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J.s},

G = 6{,}67.10^{-11}\ \mathrm{N.m^2/kg^2} \text{ и}

c = 3{,}00.10^{8}\ \mathrm{m/s}

[1 т.]

г) В съвременните физични теории се предполага, че когато релативистката маса на елементарните частици достигне критична стойност $m_{\mathrm{Pl}}$ , гравитационните [нечетливо: продължението на условието не е налично — горната част на следващата страница е закрита в сканираното копие]

д) [нечетливо: условието на подточка д) не е налично — закрито в сканираното копие; според решението се търсят радиусът $R_g$ на „черна дупка“ с маса $M$ и първата космическа скорост при него]

Отговори

Решение

а) Размерността на Планковата константа $h$ е $\mathrm{J.s}$ . Изразявайки единицата за енергия $\mathrm{J}$ чрез единиците за маса, дължина и време, се получава

(4.1)\qquad [h] = \mathrm{J.s} = \mathrm{N.m.s} = \mathrm{kg.m.s^{-2}.m.s} = \mathrm{kg.m^2.s^{-1}}.\ \text{(1 т.)}

Размерността на гравитационната константа $G$ (която може да се получи от закона на Нютон за гравитацията) е $\mathrm{N.m^2/kg^2}$ . Изразявайки единицата за сила $\mathrm{N}$ чрез единиците за маса, дължина и време се получава

(4.2)\qquad \frac{\mathrm{N.m^2}}{\mathrm{kg^2}} = \frac{\mathrm{kg.m}}{\mathrm{s^2}}.\frac{\mathrm{m^2}}{\mathrm{kg^2}} = \mathrm{kg^{-1}.m^3.s^{-2}}.\ \text{(1 т.)}

б) Предполагаме, че формулата, свързваща кванта за дължина $l_{\mathrm{Pl}}$ и Планковата константа $h$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ е от типа

(4.3)\qquad l_{\mathrm{Pl}} = h^{\alpha}.G^{\beta}.c^{\gamma}.\ \text{(0,5 т.)}

Тъй като лявата и дясната част на уравнението трябва да имат една и съща размерност, то

(4.4)\qquad m^1 = \left(kg^{\alpha}.m^{2\alpha}.s^{-\alpha}\right).\left(kg^{-\beta}.m^{3\beta}.s^{-2\beta}\right).\left(m^{\gamma}.s^{-\gamma}\right).

Уравнение (4.4) се свежда до три уравнения ((0,5 т.) за всяко):

(4.5)\qquad 0 = \alpha - \beta

(4.6)\qquad 1 = 2\alpha + 3\beta + \gamma

(4.7)\qquad 0 = -\alpha - 2\beta - \gamma

Решавайки тази система уравнения, от (4.5) се получава $\beta = \alpha$ , от (4.7) — $\gamma = -3\alpha$ , а от (4.6) — $1 = 2\alpha + 3\alpha - 3\alpha = 2\alpha$ . Следователно $\alpha = 1/2$ , $\beta = 1/2$ , $\gamma = -3/2$ (0,5 т.) или търсената формула е

(4.8)\qquad l_{\mathrm{Pl}} = \sqrt{\frac{h.G}{c^3}}\ \text{(0,5 т.)}

Предполагаме, че формулата, свързваща кванта за време $t_{\mathrm{Pl}}$ и Планковата константа $h$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ е от типа

(4.9)\qquad t_{\mathrm{Pl}} = h^{x}.G^{y}.c^{z}.\ \text{(0,5 т.)}

Тъй като лявата и дясната част на уравнението трябва да имат една и съща размерност, то

(4.10)\qquad s^1 = \left(kg^{x}.m^{2x}.s^{-x}\right).\left(kg^{-y}.m^{3y}.s^{-2y}\right).\left(m^{z}.s^{-z}\right).

Уравнение (4.10) се свежда до три уравнения ((0,5 т.) за всяко):

(4.11)\qquad 0 = x - y

(4.12)\qquad 0 = 2x + 3y + z

(4.13)\qquad 1 = -x - 2y - z

Решавайки тази система уравнения, от (4.11) се получава $y = x$ , от (4.12) — $z = -5x$ , а от (4.13) — $1 = -x - 2x + 5x = 2x$ . Следователно $x = 1/2$ , $y = 1/2$ , $z = -5/2$ (0,5 т.) или търсената формула е

(4.14)\qquad t_{\mathrm{Pl}} = \sqrt{\frac{h.G}{c^5}}.\ \text{(0,5 т.)}

в) При дадените стойности на Планковата константа $h$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ , от (4.8) за $l_{\mathrm{Pl}}$ се получава

(4.15)\qquad l_{Pl} = \sqrt{\frac{6{,}63.10^{-34}\,J.s.6{,}67.10^{-11}\,N.m^2/kg^2}{\left(3.10^8\,m/s\right)^3}} = 4{,}05.10^{-35}\ \mathrm{m}.\ \text{(0,5 т.)}

Използвайки (4.14), за $t_{\mathrm{Pl}}$ се получава

(4.16)\qquad t_{\mathrm{Pl}} = \sqrt{\frac{6{,}63.10^{-34}\,J.s.6{,}67.10^{-11}\,N.m^2/kg^2}{\left(3.10^8\,m/s\right)^5}} = 1{,}35.10^{-43}\ \mathrm{s}.\ \text{(0,5 т.)}

г) Предполагаме, че формулата, свързваща критичната стойност $m_{\mathrm{Pl}}$ и Планковата константа $h$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ е от типа:

(4.17)\qquad m_{Pl} = h^{\delta}.G^{\varepsilon}.c^{\eta}.\ \text{(0,5 т.)}

Тъй като лявата и дясната част на уравнението трябва да имат една и съща размерност, то

(4.18)\qquad kg^1 = \left(kg^{\delta}.m^{2\delta}.s^{-\delta}\right).\left(kg^{-\varepsilon}.m^{3\varepsilon}.s^{-2\varepsilon}\right).\left(m^{\eta}.s^{-\eta}\right).

Уравнение (4.18) се свежда до три уравнения ((0,5 т.) за всяко):

(4.19)\qquad 1 = \delta - \varepsilon

(4.20)\qquad 0 = 2\delta + 3\varepsilon + \eta

(4.21)\qquad 0 = -\delta - 2\varepsilon - \eta

Решавайки тази система уравнения, от (4.21) се получава $\eta = -\delta - 2\varepsilon$ , от (4.20) — $0 = 2\delta + 3\varepsilon - \delta - 2\varepsilon = \delta + \varepsilon$ , следователно $\varepsilon = -\delta$ . От (4.19) се получава — $1 = \delta + \delta$ . Следователно $\delta = 1/2$ , $\varepsilon = -1/2$ , $\eta = 1/2$ или търсената формула е

(4.22)\qquad m_{\mathrm{Pl}} = \sqrt{\frac{h.c}{G}}.\ \text{(0,5 т.)}

Използвайки (4.22), за $m_{\mathrm{Pl}}$ се получава

(4.23)\qquad m_{Pl} = \sqrt{\frac{6{,}63.10^{-34}\,J.s.3.10^8\,m/s}{6{,}67.10^{-11}\,N.m^2/kg^2}} = 5{,}46.10^{-8}\ \mathrm{kg}.\ \text{(0,5 т.)}

д) Предполагаме, че формулата, свързваща радиуса $R_{\mathrm{g}}$ на „черна дупка“ с нейната маса $M$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ е от типа

(4.24)\qquad R_g = M^{p}.G^{q}.c^{r}.\ \text{(0,5 т.)}

Тъй като лявата и дясната част на уравнението трябва да имат една и съща размерност, то

(4.25)\qquad m^1 = \left(kg^{p}\right).\left(kg^{-q}.m^{3q}.s^{-2q}\right).\left(m^{r}.s^{-r}\right).

Уравнение (4.25) се свежда до три уравнения ((0,5 т.) за всяко):

(4.26)\qquad 0 = p - q

(4.27)\qquad 1 = 3q + r

(4.28)\qquad 0 = -2q - r

Решавайки тази система уравнения, от (4.26) се получава $p = q$ , а от (4.28) — $r = -2q$ . От (4.27) се получава — $1 = 3q - 2q$ . Следователно $q = 1$ , $p = 1$ , $r = -2$ или търсената формула е

(4.29)\qquad R_g = \frac{M.G}{c^2}.\ \text{(0,5 т.)}

Първата космическа скорост се намира като скоростта на тяло при движение по окръжност с радиус $R_{\mathrm{g}}$ около „черната дупка“ с маса $M$ . От закона на Нютон за гравитацията следва

(4.30)\qquad G\frac{M.m}{R_g^{\,2}} = \frac{mv^2}{R_g}.

Замествайки $R_{\mathrm{g}}$ с израза от (4.29) и след съкращения се получава

(4.31)\qquad G\frac{M}{R_g} = v^2 = G\frac{M.c^2}{M.G},

откъдето за първата космическа скорост се получава

(4.32)\qquad v = c.\ \text{(0,5 т.)}

Оригинал в Архива: th_var2_zad.pdf · официални решения: th_var2_resh.pdf