НОФ 2007, I кръг (общински), 10–12 клас — Задача 2

• $r = \sqrt[3]{\dfrac{gR^2T^2}{4\pi^2}}$

  В официалното решение крайният резултат е отпечатан със знак за корен без показател: $r = \sqrt{\dfrac{gR^2T^2}{4\pi^2}}$; от $r^3 = \gamma\dfrac{MT^2}{4\pi^2}$ следва кубичен корен.

ЗАДАЧА 2: 10 точки Разглеждаме спътника като материална точка с маса m. В случая центростремителната сила $F_{\text{Ц}}$ е гравитационната сила, с която Земята привлича спътника.

От формулата за центростремителна сила и закона на Нютон за гравитацията получаваме: $m\omega^2 r = \dfrac{\gamma mM}{r^2}$,

но $m\omega^2 r = \dfrac{mV^2}{r}$ и $V = \dfrac{2\pi r}{T}$, следователно $\gamma\dfrac{mM}{r^2} = \dfrac{m4\pi^2 r}{T^2}$ $\quad r^3 = \gamma\dfrac{MT^2}{4\pi^2}$ и $r = \sqrt{\gamma\dfrac{MT^2}{4\pi^2}}$.

За наблюдателя на Земята: $\gamma\dfrac{mM}{R^2} = mg$. Оттук определяме масата на Земята: $M = \dfrac{R^2g}{\gamma}$ и заместваме, за да определим радиуса на орбитата на спътника: $r = \sqrt{\dfrac{gR^2T^2}{4\pi^2}}$.