Съдържание

НОФ 2007, III кръг (национален) — Задача 2. Движение на свръхпроводящ пръстен

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2007

Задачи от Националната олимпиада по физика, София, 28–29.04.2007 г. · 28 април 2007 г. · 15 т.

Условие

Тънък пръстен от свръхпроводник с маса $m$ , радиус $r_0$ и индуктивност $L$ е закрепен над цилиндричен постоянен магнит, както е показано на фиг. 2. Оста на пръстена съвпада с оста на магнита. Магнитното поле около пръстена има цилиндрична симетрия и векторът на магнитната индукция може да се разложи на две компоненти: осева (аксиална) компонента $B_z$ и радиална компонента $B_r$ . Двете компоненти с приближение се представят с функциите $B_z=B_0(1-\alpha z)$ и $B_r=B_0\beta r$ , където $B_0$ , $\alpha$ и $\beta$ са положителни константи, $z$ е осевата координата, а $r$ е радиалната координата (разстоянието до оста на симетрия, т.е. до оста на магнита).

Фиг. 2. Свръхпроводящ пръстен над магнит.

Освобождават пръстена и той започва да се движи надолу, запазвайки вертикалната ориентация на своята ос. В момента на освобождаване (начален момент) по пръстена не тече ток ( $I=0$ ), а центърът му се намира в точка с координата $z=0$ .

а) Представете магнитния поток $\Phi$ през пръстена като функция на външното магнитно поле и на индуцирания ток. [2 т.]

б) Ще се променя ли магнитният поток Ф с течение на времето? Обяснете. [1 т.]

в) Изразете индуцирания ток $I$ в пръстена като функция на $z$ . [2 т.]

г) От коя от двете компоненти на магнитната индукция ще зависи магнитната сила, действаща на пръстена? В какво направление ще действа тя? Обосновете отговора си. [1 т.]

д) Получете израз за магнитната сила. [2 т.]

е) Какво движение ще извършва пръстенът? [1 т.]

ж) Изразете координатата на центъра на пръстена като функция на времето $z(t)$ . [2 т.]

з) Пресметнете числените стойности на двете величини, които най-пълно описват движението на пръстена. [2 т.]

и) Изразете индуцирания ток като функция от времето и пресметнете максималната му стойност. [2 т.]

Числени данни (за последните две подусловия на задачата)

$\alpha=2\beta=36\ \mathrm{m^{-1}}$ , $m=36\ \mathrm{mg}$ ,

$L=1{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm H$ , $r_0=4\ \mathrm{mm}$ ,

$B_0=0{,}015\ \mathrm T$ , $g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ .

Автор: доц. д-р Максим Максимов

Решение

а) Общият магнитен поток е алгебрична сума от потока на външното магнитно поле и магнитното поле на индуцирания ток:

(1)\qquad\Phi=B_z\pi r_0^2+LI.\quad(2\ \text{т.})

б) Съгласно със закона на Фарадей за електромагнитната индукция

RI=\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}.

Тъй като пръстенът е от свръхпроводник, $R=0$ . Следователно магнитният поток през пръстена не се изменя. (1 т.)

в) $\Phi=B_0(1-\alpha z)\pi r_0^2+LI=\Phi_0$ . Като отчетем началните условия ( $z=0$ и $I=0$ ), за константата $\Phi_0$ получаваме $\Phi_0=B_0\pi r_0^2$ . От последните две равенства изразяваме тока

(2)\qquad I=\frac1L B_0\alpha\pi r_0^2z.\quad(2\ \text{т.})

г) Поради цилиндричната симетрия на полето магнитната сила, действаща на пръстена, е насочена вертикално. (Сумата от радиалните компоненти на магнитните сили, действащи на отделните токови елементи, на които можем мислено да разделим пръстена, е нула). (1 т.)

д) Магнитната сила $\Delta F$ , действаща на токов елемент $I\Delta\ell$ , е показана на фигурата.

Магнитната сила върху токов елемент от пръстена.

Посоката на тока се определя по правилото на Ленц. (Пръстенът се спуска надолу и $z<0$ .) При $z<0$ магнитната сила, действаща на пръстена, е насочена вертикално нагоре, а при $z>0$ — вертикално надолу. Нейната проекция върху оста $z$ е

(3)\qquad F_z=-B_rI(2\pi r_0)=-\frac{2\pi^2\alpha\beta r_0^4B_0^2}{L}z=-kz.\quad(2\ \text{т.})

е) От формула (3) се вижда, че магнитната сила е връщаща сила, под действие на която пръстенът ще извършва хармонично трептене. (1 т.)

ж) Уравнението на движение на пръстена е

(4)\qquad ma_z=F_z-mg=-kz-mg.

Това уравнение показва, че пръстенът извършва хармонично трептене около равновесно положение с координата

z_0=-\frac{mg}{k}.

Следователно

(5)\qquad z(t)-z_0=A\sin(\omega t+\varphi_0),

където $\omega=\sqrt{k/m}$ е кръговата честота на трептене. Като отчетем, че в началния момент $t=0$ пръстенът е в покой ( $v=0$ ) и $z=0$ , получаваме $A=-z_0$ и $\varphi_0=\pi/2$ . Заместваме в уравнение (5) и получаваме

(6)\qquad z(t)=\frac g{\omega^2}(\cos\omega t-1).\quad(2\ \text{т.})

От получената формула се вижда, че вертикалната координата $z$ никога не става положителна. Това означава, че токът винаги тече в една и съща посока, а магнитната сила винаги е насочена вертикално нагоре и става нула в най-горната точка $z=0$ .

з)

\omega=\sqrt{\frac km}=\pi r_0^2B_0\sqrt{\frac{2\alpha\beta}{mL}}=45{,}2\ \mathrm{s^{-1}}.\quad(1\ \text{т.})

A=\frac g{\omega^2}=4{,}8\ \mathrm{mm}.\quad(1\ \text{т.})

и) Токът през пръстена се изменя с времето по закона

(7)\qquad I=\frac1L B_0\alpha\pi r_0^2z(t)=\frac1L B_0\alpha\pi r_0^2A(\cos\omega t-1).\quad(1\ \text{т.})

Стойността на тока е максимална в най-ниското положение, където $\cos\omega t=-1$ :

I_{\max}=26\ \mathrm A.\quad(1\ \text{т.})

Оригинал в Архива: 2007_zad1.jpg · допълнителни данни: 2007_zad2.jpg · допълнителни данни: 2007_resh1.jpg · допълнителни данни: 2007_resh2.jpg · допълнителни данни: 2007_resh3.jpg