Съдържание

НОФ 2007, III кръг (национален) — Задача 3. Сапунен мехур

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2007

Задачи от Националната олимпиада по физика, София, 28–29.04.2007 г. · 28 април 2007 г. · 15 т.

Условие

Успореден сноп монохроматична светлина с дължина на вълната $\lambda$ пада под ъгъл $\alpha$ върху плоскопаралелна пластинка с дебелина $d$ и с показател на пречупване $n$ . Всеки лъч от падащия сноп се разделя на два лъча — лъч $a$ , отразен от горната повърхност, и лъч $b$ , отразен от долната повърхност (вж. фиг. 3.1). Лъчите $a$ и $b$ интерферират, след като попаднат в окото на наблюдателя.

а) Изразете разликата $\Delta$ в оптичните пътища на лъчите $a$ и $b$ чрез $d$ , $\alpha$ , $n$ и $\lambda$ . [5 т.]

б) Запишете условие, при което интензитетът на отразената от пластинката светлина е максимален. [2 т.]

От капка сапунен разтвор с обем $V=0{,}001\ \mathrm{cm^3}$ започва да се издува сапунен мехур. Мехурът е осветен с разсеяна светлина, която е смес от две монохроматични съставящи — червена, с дължина на вълната $\lambda_\text{ч}=650\ \mathrm{nm}$ , и зелена, с дължина на вълната $\lambda_\text{з}=550\ \mathrm{nm}$ . Наблюдател, разположен на голямо разстояние от мехура, вижда върху повърхността му концентрични цветни кръгове. Показателят на пречупване на разтвора е $n=1{,}429$ , а на въздуха — единица.

в) При какъв радиус $R$ на мехура наблюдателят ще вижда центъра и краищата на мехура оцветени в червено, като между тях няма други червени ивици (вж. фиг. 3.2)? [5 т.]

Червените и зеленият кръгове върху мехура (надписът в източника е Фиг. 3.1).

г) При този радиус на мехура наблюдателят вижда и един зелен кръг (вж. фиг. 3.2). Колко е неговият радиус $r$ ? [3 т.]

Автор: доц. д-р Виктор Иванов

Решение

а) Оптичният път, който изминава лъчът $a$ , е:

(1)\qquad s_a=\frac\lambda2+AA'=\frac\lambda2+AB\sin\alpha.\quad(1\ \text{т.})

Оптичният път на лъча $b$ е:

(2)\qquad s_b=n(AO+OB)=2nAO.\quad(1\ \text{т.})

От геометрични съображения намираме:

(3)\qquad AB=2d\operatorname{tg}\beta.\quad(0{,}5\ \text{т.})

(4)\qquad AO=\frac d{\cos\beta}.\quad(0{,}5\ \text{т.})

От закона на Снелиус изразяваме ъгъла на пречупване

(5)\qquad\sin\beta=\frac{\sin\alpha}{n}.\quad(1\ \text{т.})

Като използваме уравненията (1)–(5), получаваме

(6)\qquad\Delta=s_2-s_1=2d\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}-\frac\lambda2.\quad(1\ \text{т.})

б) За да се наблюдава максимум при определен ъгъл на падане, е необходимо

(7)\qquad\Delta=k\lambda\quad(k=0,\pm1,\pm2,\pm3,\ldots).\quad(1\ \text{т.})

Като използваме израза (6) за разликата в пътищата, виждаме, че максимум може да се наблюдава само при неотрицателни стойности на $k$ :

(8)\qquad2d\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}=\left(k+\frac12\right)\lambda

(k=0,1,2,3,\ldots).\quad(1\ \text{т.})

в) Означаваме с $d$ дебелината на стената на мехура. Малък участък от мехура, разположен под ъгъл $\alpha$ спрямо зрителния лъч, може да се разглежда като плоскопаралелна пластинка.

Условието цветът на участъка да съответства на дължина на вълната $\lambda$ , се дава с уравнение (8).

За червената светлина максимум се наблюдава при $\alpha=90^\circ$ , откъдето получаваме

(9)\qquad2d\sqrt{n^2-1}=\left(k+\frac12\right)\lambda_\text{ч}.\quad(1\ \text{т.})

Понеже следващият максимум е при $\alpha=0^\circ$ , неговият порядък е $k+1$ :

(10)\qquad2dn=\left(k+1+\frac12\right)\lambda_\text{ч}.\quad(1\ \text{т.})

Като извадим от уравнение (10) уравнение (9), намираме дебелината на мехура

(11)\qquad d=\frac{\lambda_\text{ч}}{2\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)}=796\ \mathrm{nm}=7{,}96\cdot10^{-5}\ \mathrm{cm}.\quad(1\ \text{т.})

Понеже $d\ll R$ , за обема на стените на мехура имаме

(12)\qquad V=4\pi R^2d.\quad(1\ \text{т.})

Оттук намираме радиуса на мехура

(13)\qquad R=\sqrt{\frac V{4\pi d}}=1{,}00\ \mathrm{cm}.\quad(1\ \text{т.})

г) При тази дебелина на мехура в интервала $\alpha=0^\circ-90^\circ$ се наблюдава един максимум за зелената светлина с порядък $k=3$ . (1 т.)

Ъгълът, под който се наблюдава зеленият пръстен, се определя от условието

(14)\qquad2d\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}=\frac72\lambda_\text{з}.\quad(0{,}5\ \text{т.})

Понеже

(15)\qquad\sin\alpha=\frac rR,\quad(0{,}5\ \text{т.})

намираме

(16)\qquad r=R\sqrt{n^2-\left(\frac{7\lambda_\text{з}}{4d}\right)^2}=0{,}76\ \mathrm{cm}.\quad(1\ \text{т.})

Разлика в оптичните пътища, точки A, B, O и A′.

Оригинал в Архива: 2007_zad1.jpg · допълнителни данни: 2007_zad2.jpg · допълнителни данни: 2007_resh1.jpg · допълнителни данни: 2007_resh2.jpg · допълнителни данни: 2007_resh3.jpg