Съдържание

НОФ 2007, III кръг (национален) — Задача 4. Минимален магнитен поток

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2007

Задачи от Националната олимпиада по физика, София, 28–29.04.2007 г. · 28 април 2007 г. · 15 т.

Условие

При движение на частица с електричен заряд $q$ в еднородно и постоянно магнитно поле с индукция $B$ със скорост, перпендикулярна на индукцията, частицата се движи равномерно по окръжност. Потокът на магнитната индукция през площта $S$ , чиято граница е траекторията на частицата, е $\Phi=BS$ . Съгласно със законите на квантовата теория този магнитен поток има минимална стойност, която може да бъде определена по следния начин.

а) Покажете, че според класическата механика равномерното движение по окръжност може да се представи чрез две едномерни хармонични трептения с една и съща честота. [3 т.]

б) Като използвате съотношението за неопределеност на Хайзенберг

\Delta x\Delta p_x\approx\hbar,

покажете, че минималната възможна енергия на едно хармонично трептене според квантовата теория е

E_{\min}=\frac{\hbar\omega}{2}.

( $\hbar=h/(2\pi)$ , $\omega$ е кръговата честота на трептенето). [7 т.]

в) Пресметнете минималната възможна стойност на магнитния поток според квантовата теория. [5 т.]

Автор: доц. д-р Димитър Мърваков

Решение

а) При равномерно движение по окръжност с радиус $R$ координатите $x$ и $y$ на частицата имат вида

x=R\cos\omega t\quad(0{,}5\ \text{т.}),\qquad y=R\sin\omega t\quad(0{,}5\ \text{т.})

Тогава за компонентите на ускорението получаваме

a_x=-\omega^2x\quad(0{,}5\ \text{т.}),\qquad a_y=-\omega^2y\quad(0{,}5\ \text{т.})

откъдето за енергията намираме

E_x=\frac{mv_x^2}{2}+\frac{m\omega^2x^2}{2},\quad(0{,}5\ \text{т.})

E_y=\frac{mv_y^2}{2}+\frac{m\omega^2y^2}{2}.\quad(0{,}5\ \text{т.})

б) Потенциалната енергия на хармоничното трептене по $x$ е

U(x)=\frac{m\omega^2x^2}{2}.\quad(1\ \text{т.})

При енергия $E_x$ , областта на локализация на частицата е

\Delta x=2a,\quad(1\ \text{т.})

\Delta p_x\approx p_x=\frac\hbar{2a}.\quad(1\ \text{т.})

От израза за енергията

E_x=\frac{\hbar^2}{8ma^2}+\frac{m\omega^2a^2}{2}\quad(1\ \text{т.})

и условието за минимум следва

a^2=\frac\hbar{2m\omega},\quad(1\ \text{т.})

E_{x,\min}=\frac{\hbar\omega}{2}.\quad(1\ \text{т.})

Следователно при движение по окръжност според квантовата теория

E_{\min}=E_{x,\min}+E_{y,\min}=\hbar\omega.\quad(1\ \text{т.})

в) При движение по кръгова орбита с радиус $R$ в магнитно поле с индукция $B$ имаме

\frac{mv^2}{R}=qvB.\quad(0{,}5\ \text{т.})

Като отчетем, че

\frac{mv^2}{2}=\frac{qvBR}{2},\quad(0{,}5\ \text{т.})

намираме

v=\frac{qB}{m}R=\omega R.\quad(0{,}5\ \text{т.})

Тъй като в магнитно поле кинетичната енергия на частицата съвпада с пълната енергия (магнитната сила не извършва работа)

E_{\min}=\frac{mv^2}{2}=\hbar\omega.\quad(1\ \text{т.})

Следователно имаме

\frac{m\omega R^2}{2}=\hbar,\quad(0{,}5\ \text{т.})

\Phi_{\min}=\pi R^2B=\frac hq.\quad(2\ \text{т.})

Оригинал в Архива: 2007_zad1.jpg · допълнителни данни: 2007_zad2.jpg · допълнителни данни: 2007_resh1.jpg · допълнителни данни: 2007_resh2.jpg · допълнителни данни: 2007_resh3.jpg