НОФ 2008, II кръг (областен), 8. клас — Задача 3

• а) $t_3 = \frac{t_1 + kt_2}{1+k} = 30\ ^0\mathrm{C},\qquad t_4 = \frac{kt_1 + t_2}{1+k} = 50\ ^0\mathrm{C},\quad k = \frac{\Delta V}{V} = \frac{1}{3}$

• б) 3 цикъла

  Разликата намалява 2 пъти на цикъл: 40 → 20 → 10 → 5 $^0$C, т.е. общо три цикъла.

а) При първото преливане за уравнението на топлинния баланс имаме

[1 т.]

където $c$ е спецефичния топлинен капацитет на водата, $m$ е масата на първоначално налятата вода, $\Delta m$ е масата на прелятата вода, а $t_3$ – установилата се температура. При последващото преливане от втория в първия съд ще имаме

[1 т.]

където с $t_4$ сме означили установилата се температура в съда 1. Първото уравнение решаваме относно $t_3$, а второто – относно $t_4$.

[1 т.] където сме въвели означението $k = \dfrac{\Delta m}{m}$

[1 т.] което заедно с изразът за $t_3$ дава

[1 т.]

Коефицинетът $k$ може да пресметнем като отношение на обемите $k = \Delta V/V = 1/3$,

$t_3 = 30\ ^0\mathrm{C}$ [1 т.] и $t_4 = 50\ ^0\mathrm{C}$ [1 т.]

б) Определяме разликата

[1 т.]

откъдето получаваме

[1 т.]

При всеки следващ цикъл разликата в температурите ще намалява 2 пъти, така че да постигнем температурна разлика $\Delta t = 5\ ^0\mathrm{C}$ ще са ни необходими още два цикъла, т.е. общо три цикъла. [1 т.]