НОФ 2008, III кръг (национален) — Задача 1. Въртяща се пружина с топче

• а) $x = \frac{m\omega^2 l_0}{k-m\omega^2} = \frac{l_0}{\dfrac{k}{m\omega^2}-1}$
• б) $\cos\alpha = \frac{g}{kl_0\omega^2}\left(k-m\omega^2\right) = \frac{mg}{kl_0}\left(\frac{k}{m\omega^2}-1\right)$
• в) $\omega \in (\omega_{\min}, \omega_{\max}),\quad \omega_{\min} = \frac{1}{\sqrt{\dfrac{m}{k}+\dfrac{l_0}{g}}},\quad \omega_{\max} = \sqrt{\frac{k}{m}}$
• г) Не. За всяка комбинация от параметрите $l_0, g, k$ и $m$ е изпълнено $\omega_{\min} < \omega_{\max}$, т.е. интервалът винаги съществува.
• д) Виж графиките в решението.

а) Записваме уравнението на движение за топчето (по вертикална и хоризонтална компоненти):

$T\cos\alpha - mg = 0$, (1.1) [1 т.]

$T\sin\alpha = m\omega^2 r$, (1.2) [1 т.]

където $r$ е радиусът на окръжността, по която се движи топчето. От чертежа следва, че

$r = \left(l_0+x\right)\sin\alpha$, (1.3) [0,5 т.]

а еластичната сила е

$T = kx$. (1.4) [0,5 т.]

Като заместим $r$ и $T$ в (1.2) съответно от (1.3) и от (1.4), се получава

$kx\sin\alpha = m\omega^2\left(l_0+x\right)\sin\alpha$. [1 т.]

След съкращаване на $\sin\alpha$, имаме

$x = \dfrac{m\omega^2 l_0}{k-m\omega^2} = \dfrac{l_0}{\dfrac{k}{m\omega^2}-1}$. (1.5) [1 т.]

б) Като заместим в (1.4) израза за $x$ от (1.5), а така получената формула за $T$ в (1.1), се получава

$\dfrac{kl_0}{\dfrac{k}{m\omega^2}-1}\cos\alpha = mg$. [1 т.]

След опростяване на израза, имаме

$\cos\alpha = \dfrac{g}{kl_0\omega^2}\left(k-m\omega^2\right) = \dfrac{mg}{kl_0}\left(\dfrac{k}{m\omega^2}-1\right)$. (1.6) [2 т.]

в) За да има физически смисъл формула (1.5), тя трябва да дава за $x$ положителна и крайна стойност. Следователно,

$\omega < \sqrt{\dfrac{k}{m}}$. (1.7) [0,5 т.]

При извода на (1.5) сме съкратили на $\sin\alpha$, което означава, че тази формула е вярна за $\alpha > 0$. [0,5 т.]

От друга страна формулата (1.6) за $\cos\alpha$ трябва да дава стойности в интервала $(0,1)$. Тогава от условието $\cos\alpha > 0$ следва, че

$\omega < \sqrt{\dfrac{k}{m}}$, (1.8) [0,5 т.]

а от условието $\cos\alpha < 1$, намираме че

$\omega > \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{m}{k}+\dfrac{l_0}{g}}}$. (1.9) [1 т.]

Следователно формули (1.5) и (1.6) са верни за честоти $\omega \in \left(\omega_{\min},\omega_{\max}\right)$, където

$\omega_{\min} = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{m}{k}+\dfrac{l_0}{g}}}$,

$\omega_{\max} = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$. [0,5 т.]

г) Проста проверка

$\omega_{\min} = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{m}{k}+\dfrac{l_0}{g}}} = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\,\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{l_0 k}{gm}}} < \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \omega_{\max}$ [0,5 т.]

показва, че за всяка комбинация от параметрите $l_0, g, k$ и $m$, $\omega_{\min} < \omega_{\max}$ и следователно интервалът винаги съществува. [0,5 т.]

При $\omega \le \omega_{\min}$, $\alpha = 0$, имаме $x = \dfrac{mg}{k}$.

д) Графиките на $x = f(\omega)$ и $\cos\alpha = g(\omega)$ при $\omega \in \left(0,\infty\right)$ изглеждат така: [1,5 т. + 1,5 т.]

Обосновка:

$\dfrac{dx}{d\omega} > 0,\ \dfrac{d^2x}{d\omega^2} > 0$,

$\dfrac{d(\cos\alpha)}{d\omega} < 0,\ \dfrac{d^2(\cos\alpha)}{d\omega^2} > 0$,

$\omega \in \left(\omega_{\min},\omega_{\max}\right)$.