Съдържание

НОФ 2008, III кръг (национален) — Задача 4. Излъчване на молекула въглероден диоксид

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2008

Национален кръг на Олимпиадата по физика 2008 — теоретична тема · 3 май 2008 г. · 15 т.

Условие

При температура $t = 17\ {}^\circ\mathrm{C}$ показателят на адиабатата на идеален газ от въглероден диоксид е $\gamma = 1{,}30$ . Молекулата $\mathrm{CO_2}$ е линейна – в равновесната конфигурация атомите въглерод (C) и кислород (O) са рзположени върху права линия. При указаната температура молекулата $\mathrm{CO_2}$ извършва следните независими движения:

постъпателни движения
въртеливи движения
две хармонични трептения с една и съща честота $\nu$ .

а) Намерете топлинния капацитет $C_V$ на газа. Изразете резултата чрез универсалната газова константа $R$ . [3 т.]

б) Определете приноса на трептенията $C_V^{\mathrm{vib}}$ в моларния топлинен капацитет $C_V$ на газа. [4 т.]

в) Ако средната енергия на хармоничните трептения с честота $\nu$ на една молекула при температура $T$ е:

$\varepsilon = h\nu + \dfrac{2h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}$ ,

изведете израз за моларния топлинен капазитет $C_V^{\mathrm{vib}}$ . Тук $k = 1{,}38.10^{-23}$ J/K е константата на Болцман. [3 т.]

г) Пресметнете дължината на вълната $\lambda$ на електромагнитните вълни с честота $\nu$ и определете в коя част на електромагнитния спектър молекулата $\mathrm{CO_2}$ излъчва и поглъща.

Упътване. Уравнението

$e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} = 1{,}55x$

има решение $x = 3{,}38$ . [5 т.]

Отговори

Решение

а) За идеален газ показателят на адиабатата се дава с израза

$\gamma = \dfrac{C_p}{C_V}$ . [1 т]

Като отчетем съотношението на Майер

$C_p = C_V + R$ , [1 т]

намираме

$C_V = \dfrac{R}{\gamma-1} = \dfrac{10}{3}R$ . [1 т]

б) Независимите движения дават адитивен принос в $C_V$ , т.е.

$C_V = C_V^{\mathrm{tr}} + C_V^{\mathrm{rot}} + C_V^{\mathrm{vib}}$ . [1 т]

Като отчетем, че

$C_V^{\mathrm{tr}} = \dfrac{3}{2}R$ , [1 т]

$C_V^{\mathrm{rot}} = R$ , [1 т]

намираме

$C_V^{\mathrm{vib}} = \dfrac{5}{6}R$ . [1 т]

в) Вътрешната енергия на 1 mol газ, свързана с трептенията, е

$U_{\mathrm{vib}} = N_A\varepsilon$ , [1 т]

където $N_A$ е числото на Авогадро. По определение

$C_V^{\mathrm{vib}} = \dfrac{dU_{\mathrm{vib}}}{dT} = 2R\left(\dfrac{h\nu}{kT}\right)^2\dfrac{e^{\frac{h\nu}{kT}}}{\left(e^{\frac{h\nu}{kT}}-1\right)^2}$ , [1 т]

където е отчетено, че $R = N_A k$ . [1 т]

г) Нека положим $x = \dfrac{h\nu}{kT}$ . [1 т]

Тогава имаме

$\dfrac{x^2e^x}{\left(e^x-1\right)^2} = \dfrac{5}{12}$ , $e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} = 1{,}55x$ . [1 т]

Като отчетем, че

$x = \dfrac{hc}{\lambda kT} = 3{,}38$ , [1 т]

намираме

$\lambda = 14{,}7\ \mathrm{\mu m}$ . [1 т]

Тази стойност показва, че молекулата излъчва в инфрачервената област. [1 т]

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf