Съдържание

НОФ 2008, III кръг (национален) — Задача 3. Електромагнитно оръдие

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2008

Национален кръг на Олимпиадата по физика 2008 — теоретична тема · 3 май 2008 г. · 15 т.

Условие

На фигурата е показана опростена схема на електромагнитно оръдие. Две успоредни метални релси с пренебрежимо малко електрично съпротивление са разположени в хоризонтална равнина на разстояние $\ell = 0{,}2$ m една от друга. Перпендикулярно на релсите е поставена проводяща пръчка с маса $m$ и съпротивление $R$ , която може да се хлъзга по релсите без триене. Единият край на релсите се свързва към кондензатор с капацитет $C = 0{,}5$ F, както е показано на фигурата. Кондензаторът се зарежда от източник с напрежение $U_0 = 6$ kV. Системата се намира в еднородно магнитно поле с индукция $B = 0{,}6$ T, която е насочена вертикално. Индуктивността на електрическата верига се пренебрегва.

Опростена схема на електромагнитното оръдие: източник $U_0$, ключ К, кондензатор $C$, пръчка с маса $m$ и съпротивление $R$ върху релси на разстояние $\ell$ в поле $B$. — Опростена схема на електромагнитното оръдие: източник $U_0$ , ключ К, кондензатор $C$ , пръчка с маса $m$ и съпротивление $R$ върху релси на разстояние $\ell$ в поле $B$ .

а) Ключът К е в положение 1. Колко е енергията $W_0$ на заредения кондензатор? [1 т.]

б) Преместваме ключа К в положение 2 и пръчката започва да се отдалечава от кондензатора.

Каква е посоката на магнитното поле (нагоре или надолу)? [0,5 т.]

в) Получете формула за ускорението на пръчката в началния момент. [1,5 т.]

г) По време на движението скоростта на пръчката нараства, а зарядът на кондензатора намалява. Изразете максималната скорост $v_{\max}$ на пръчката и минималния заряд $q_{\min}$ на кондензатора чрез дадените в условието на задачата величини. [4,5 т.]

д) Пресметнете максималната скорост $v_{\max}$ за пръчка с маса $m = 1$ kg. [0,5 т.]

е) Ефективността (КПД) на електромагнитното оръдие е $\eta = \dfrac{E_{\max}}{W_0}$ , където $E_{\max}$ е максималната кинетична енергия на пръчката, а $W_0$ е енергията на заредения кондензатор в началния момент.

Изразете ефективността на оръдието чрез дадените в условието на задачата величини. [1 т.]

ж) Колко е максималната възможна ефективност на оръдието и при каква маса $m$ на пръчката се достига тя? [3 т.]

з) Колко е максималната скорост $v_{\max}$ на пръчката, когато е изпълнено условието за максимална ефективност? [1 т.]

и) Каква част от енергията на заредения кондензатор се превръща в джаулова топлина за оръдие с максимална ефективност? [1 т.]

к) Възможно ли е при зададените параметри оръдието да достигне максималната си ефективност? Обосновете отговора си. [1 т.]

Отговори

Решение

а) $W_0 = \dfrac{CU_0^2}{2} = 9\ \mathrm{MJ}$ . [1 точка]

б) По правилото на дясната ръка определяме, че магнитната индукция е насочена вертикално надолу. [0,5 точки]

в) В началния момент през пръчката протича ток $I = U_0/R$ . [0,5 точки] На пръчката действа магнитна сила $F = BI\ell$ . [0,5 точки]

Началното ускорение на пръчката е

$a = \dfrac{B\ell U_0}{mR}$ . [0,5 точки]

г) Съгласно с правилото на Ленц индуцираното електродвижещо напрежение (ЕДН) в движещата се пръчка намалява тока през пръчката (индуцираното ЕДН $\varepsilon$ се противопоставя на причината, която го поражда). Следователно индуцираното ЕДН $\varepsilon$ има обратна полярност на напрежението на кондензатора. В процеса на разреждане на кондензатора неговото напрежение намалява, а индуцираното ЕДН нараства, докато общото напрежение стане нула, т.е. докато двете напрежения се изравнят по големина. В този момент общият ток става нула и пръчката достига максималната си скорост. [1 точка]

(1) $\varepsilon = \dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t} = B\ell v_{\max} = \dfrac{q_{\min}}{C}$ . [1 точка]

Уравнението на движението на пръчката е

(2) $ma = m\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = B\ell I = B\ell\dfrac{\Delta q}{\Delta t}$ . [0,5 точки]

От уравнение (2) се вижда, че изменението на скоростта е правопропорционално на изменението на заряда на кондензатора. Скоростта нараства от нула до $v_{\max}$ , а зарядът намалява от $q_0 = CU_0$ до $q_{\min}$ . Следователно от уравнение (2) следва равенството

(3) $m(v_{\max}-0) = B\ell(q_0-q_{\min})$ [1 точка]

От уравнения (1) и (3) получаваме:

$v_{\max} = \dfrac{B\ell CU_0}{m+CB^2\ell^2}$ [0,5 точки]

$q_{\min} = \dfrac{B^2\ell^2C^2U_0}{m+CB^2\ell^2}$ [0,5 точки]

д) При $m = 1$ kg $v_{\max} \approx 360$ m/s. [0,5 точки]

е) $\eta = \dfrac{mB^2\ell^2C}{\left(m+B^2\ell^2C\right)^2}$ [1 точка]

ж) Използваме неравенството между средното аритметично и средното геометрично:

$\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ .

В случая $a = m$ , $b = B^2\ell^2C$ .

$\eta = \left(\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}\right)^2 \le \dfrac{1}{4}$ .

Равенството е при $a = b$ , т.е. при $m = B^2\ell^2C$ .

Следователно максималната ефективност на оръдието е $\eta_{\max} = 1/4$ . Тя се достига при маса на пръчката

$m = B^2\ell^2C = 7{,}2$ g [3 точки]

з) $v_{\max} = \dfrac{B\ell CU_0}{2m} = 25\ \mathrm{km/s}$ . [1 точка]

Забележка. Подобни скорости действително са постигани с релсово електромагнитно оръдие (railgun) при изстрелване на малки снаряди (вж. http://en.wikipedia.org/wiki/Railgun).

и) Когато е изпълнено условието за максимална ефективност $m = B^2\ell^2C$ , минималният заряд на кондензатора е

$q_{\min} = U_0C/2$ .

Следователно в кондензатора остава 1/4 от началната енергия, 1/4 от енергията се преобразува в кинетична енергия на пръчката, а останалата половина се отделя като джаулова топлина:

$Q = W_0/2$ [1 точка]

к) Според условието на задачата цялото количество топлина (4,5 MJ) трябва да се отдели в пръчката (7,2 g). Това би довело до нейното почти мигновено изпаряване... [1 точка]

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf