Съдържание

НОФ 2010, III кръг (национален), 10–12 клас, втори ден · друг препис — Задача 1. Падащ космически кораб

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2010

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА. Олимпиада по физика, Национален кръг, Плевен, 2 май 2010 г. Тема за 10-12 клас · 2 май 2010 г. · 5 т.

Внимание: Бележка към темата

Файлът с решения в архива е за друга тема; решенията са взети от края на файла с условията.

Условие

Космически кораб с повредени двигатели започва да пада свободно към центъра на планета с маса $M$ и радиус $R$ . Началната скорост на кораба е нулева, а началното му разстояние до планетата е безкрайно голямо. На височина $H$ над повърхността на планетата екипажът успява да пусне двигателите.

Окръжност (планета) с радиус R, означен със стрелка от центъра към ръба; вдясно, на разстояние H от повърхността, малко кръгче (корабът) с хоризонтална стрелка v0 към планетата и вертикална стрелка v1 нагоре; пунктирни линии през центъра и вертикални пунктири при повърхността и при кораба. — Фиг. 1

а) Получете израз за скоростта $v_0$ на кораба на тази височина. [1 т.]

б) Веднага след включване на двигателите на кораба е придадена допълнителна скорост $v_1$ в направление, перпендикулярно на посоката на падане (вж. Фиг. 1).

Получете израз за минималната скорост $v_1$ , достатъчна, за да бъде избегнат удар с планетата. [3 т.]

в) Каква ще бъде траекторията на кораба след придаване на допълнителната скорост – елипса, парабола или хипербола? Обосновете отговора си. [1 т.]

Отговори

Решение

а) Приемаме безкрайно отдалечена от планетата точка като нулево ниво за потенциалната енергия на кораба. Понеже началната скорост на кораба е нула и началното му разстояние до планетата е много голямо, можем да приемем, че в началото на падането $E_{p0} \approx 0;\quad E_{k0} = 0$ . Следователно пълната енергия на кораба е

E = E_{p0} + E_{k0} = 0

От закона за запазване на енергията по време на свободното падане имаме:

\frac{mv_0^2}{2} - \frac{\gamma Mm}{R+H} = 0,

[0,5 т]

откъдето:

v_0 = \sqrt{\frac{2\gamma M}{(R+H)}}.

[0,5 т]

б) Скоростта на кораба след придаване на допълнителна скорост е:

v = \sqrt{v_1^2 + v_0^2},

а пълната му енергия:

E = \frac{mv^2}{2} - \frac{\gamma Mm}{R+H} = \frac{mv_1^2}{2}.

[0,5 т]

Минимална е тази скорост $v_1$ , при която траекторията на кораба се допира до повърхността на планетата. Нека корабът достига планетата със скорост $v_2$ . От закона на запазване на енергията имаме:

(1)

\frac{mv_2^2}{2} - \frac{\gamma Mm}{R} = \frac{mv_1^2}{2}.

[0,5 т]

От закона за запазване на момента на импулса получаваме:

(2)

mv_2 R = mv_1(R+H)

[1 т]

От уравненията (1) и (2) намираме:

v_1 = \sqrt{\frac{2\gamma MR}{(2R+H)H}}.

[1 т]

в) След придаване на допълнителна скорост пълната енергия на кораба е положителна. Следователно траекторията на кораба е хипербола. [1 т]

Окръжност (планета) с радиус R; от центъра хоризонтален отрязък R + H до кораба, при който има стрелки v0 (към планетата), v1 (нагоре) и резултантна v; пунктирна траектория (хипербола), която се допира до планетата отгоре, където е стрелката v2 наляво. — Фиг. 1

Оригинал в Архива: 10-12_d2.pdf · официални решения: 10-12_d1_resh.pdf