НОФ 2011, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1

• а) $\sin\varphi_k = \frac{\sin\alpha}{n_k}$

  От закона на Снелиус за всяка разделителна повърхност: $\sin\alpha = n_1\sin\varphi_1 = n_2\sin\varphi_2 = \ldots = n_k\sin\varphi_k$.

• б) $\beta = \alpha$

• в) Не. Условието за пълно вътрешно отражение би довело до $\sin\alpha > 1$, което е невъзможно — следователно винаги ще има преминал лъч.

• г) $d = \frac{2h\sin\alpha\cos\alpha}{\sqrt{n_1^{2}-\sin^{2}\alpha}} = \frac{h\sin 2\alpha}{\sqrt{n_1^{2}-\sin^{2}\alpha}}$

а) Нека отбележим ъгълът, който сключва преминаващия лъч в $i$- тата среда с $\varphi_i$. Използвайки закона на Снелиус за всяка разделителна повърхност: $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\varphi_1} = \dfrac{n_1}{1}$, $\dfrac{\sin\varphi_1}{\sin\varphi_2} = \dfrac{n_2}{n_1}$, [1 т] или $\sin\alpha = n_1\sin\varphi_1 = n_2\sin\varphi_2 = \ldots = n_k\sin\varphi_k$ (1.1), откъдето $\sin\varphi_k = \dfrac{\sin\alpha}{n_k}$ [1 т]

б) използвайки отново (1.1) $\sin\alpha = n_1\sin\varphi_1 = n_2\sin\varphi_2 = \ldots = n_N\sin\varphi_N = 1.\sin\beta$ следва, че $\beta = \alpha$ [1 т].

в) за да се отрази лъчът напълно някъде между два слоя (да приемем между $i$-ия и $i+1$-ия) трябва да е налице условието за пълно вътрешно отражение: $\varphi_i > \varphi_{\text{ПВО}}$, където $\sin\varphi_{\text{ПВО}} = \dfrac{n_{i+1}}{n_i}$. Тогава трябва $\sin\varphi_i > \sin\varphi_{\text{ПВО}} = \dfrac{n_{i+1}}{n_i}$, или $n_i\sin\varphi_i > n_{i+1}$ [1 т]. Използвайки (1.1), обаче $\sin\alpha = n_i\sin\varphi_i > n_{i+1} > 1$, откъдето получаваме, че $\sin\alpha > 1$, което е невъзможно. Следователно винаги ще има преминал лъч [1 т].

г) Ако отбележим разстоянието между точките, където двата отразени лъча напускат пластинката, с $x$, то $d = x\cos\alpha = 2h\tan\varphi_1\cos\alpha = \dfrac{2h\sin\varphi_1\cos\alpha}{\sqrt{1-\sin^{2}\varphi_1}}$ (1.2) [2 т]. Използвайки закона на Снелиус $\sin\alpha = n_1\sin\varphi_1$ и замествайки в (1.2) $d = \dfrac{2h\sin\alpha\cos\alpha}{\sqrt{n_1^{2}-\sin^{2}\alpha}}$ [2 т] $= \dfrac{h\sin 2\alpha}{\sqrt{n_1^{2}-\sin^{2}\alpha}}$ [1 т].