НОФ 2011, II кръг (областен), 8. клас — Задача 1. Движение в мъгла.

• а) Ускорението е $a = 6{,}25\ \mathrm{m/s^2}$, времето за спиране $T_{\text{сп}} = 4\ \mathrm{s}$.

• б) $v_{A\max} = 30\ \mathrm{m/s} = 108\ \mathrm{km/h}$

  В източника отговорът е даден едновременно в m/s и km/h (30 m/s = 108 km/h).

• в) 1.6 s

  Автомобилът ще удари камиона след 1,6 s.

• г) 14 m

  Автомобилът няма да удари камиона; минималното разстояние е 14 m.

а) Времето на спиране $T_{\text{сп}}$ и ускорението $a$ могат да се определят от закона за скоростта и закона за пътя: $0 = v_0 - aT_{\text{сп}}$ (1.1) и $s = v_0T_{\text{сп}} - aT_{\text{сп}}^2/2$ (1.2). Намирайки $T_{\text{сп}}$ от (1.1) и замествайки в (1.2) за ускорението се получава $a = v_0^2/2s = (25\ \mathrm{m/s})^2/2\cdot 50\ \mathrm{m} = 6{,}25\ \mathrm{m/s^2}$ [1 т.]. Замествайки с полученото ускорение в (1.1), за времето на спиране се получава $T_{\text{сп}} = v_0/a = 25\ \mathrm{m/s}\ /\ 6{,}25\ \mathrm{m/s^2} = 4\ \mathrm{s}$ [1 т.].

б) удар между лекият автомобил и камиона ще има, ако в някакъв момент време те имат едно и също положение. Нека този момент време е $t_{\text{уд}}$. Тогава от закона за пътя на автомобила и камиона следва: $x_A = v_At - at^2/2$ и $x_K = L + v_Kt$. При $t = t_{\text{уд}}$, $x_A = x_K$. Следователно $v_At - at^2/2 = L + v_Kt$, откъдето $at^2/2 - (v_A - v_K)t + L = 0$ (1.3). Удар ще има, когато това квадратно уравнение спрямо $t$ има решение. Тогава дискриминантата $D = (v_A - v_K)^2 - 2aL \geq 0$, откъдето $v_A \geq v_K + \sqrt{2aL}$. Следователно удар няма да има при $v_A < v_K + \sqrt{2aL}$ [1 т.] или максималната скорост ще бъде $v_{A\max} = 10\ \mathrm{m/s} + \sqrt{2\cdot 6{,}25m/s^2\cdot 32m} = 30\ \mathrm{m/s} = 108\ \mathrm{km/h}$ [1 т.].

в) тъй като $v_{A1} > v_{A\max}$, в този случай автомобилът ще удари камиона. Моментът на удара може да се намери от решението на уравнението (1.3). $t_{\text{уд}} = \bigl((v_{A1} - v_K) \pm \sqrt{(v_{A1} - v_K)^2 - 2aL}\bigr)/a$ [1 т.]. Само решението със знак минус има физически смисъл (на решението със знак плюс съответства скорост на лекия автомобил в обратна посока). След заместване $t_{\text{уд}} = \bigl((35m/s - 10m/s) - \sqrt{(35m/s - 10m/s)^2 - 2\cdot 6{,}25m/s^2\cdot 32m}\bigr)/6{,}25m/s^2 = 1{,}6\ \mathrm{s}$ [2 т.].

г) тъй като $v_{A2} < v_{A\max}$, в този случай автомобилът няма да удари камиона. Разстоянието между автомобила и камиона ще бъде минимално, когато те се движат с равни скорости [1 т.]. Това ще се случи в момента време $t'$, за който $v_K = v_{A2} - at'$, откъдето намираме $t' = (v_{A2} - v_K)/a = (25\ \mathrm{m/s} - 10\ \mathrm{m/s})/6{,}25\ \mathrm{m/s^2} = 2{,}4\ \mathrm{s}$. Следователно $l_{\min} = x_K(t') - x_A(t') = L + v_Kt' - \bigl(v_{A2}t' - at'^2/2\bigr) = 32\ \mathrm{m} + 10\ \mathrm{m/s}\cdot 2{,}4\ \mathrm{s} - (25\ \mathrm{m/s}\cdot 2{,}4\ \mathrm{s} - 6{,}25\ \mathrm{m/s^2}\cdot (2{,}4\ \mathrm{s})^2/2) = 14\ \mathrm{m}$ [2 т.].