НОФ 2011, II кръг (областен), 8. клас — Задача 2. Скиор.

• а) 120 N
• б) 150 N
• в) 80 m
• г) 480 N

а) силата на триене $F_1$, която действа на скиора, докато се спуска, може да се намери от закона за промяна на механичната енергия: $\Delta E = A_{F_1}$, или $mv_1^2/2 - mgh = -F_1\cdot s$ (2.1), откъдето $F_1 = \dfrac{m\bigl(gh - v_1^2/2\bigr)}{s} =$ [1 т.] $= \dfrac{60kg\bigl(10m/s^2\cdot 30m - (20m/s)^2/2\bigr)}{50m} = 120\ \mathrm{N}$ [1 т.].

б) силата на триене $F_2$, която действа на скиора, докато се движи по хоризонталната част също може да се намери от закона за промяна на механичната енергия: $\Delta E = A_{F_2}$, или $mv_2^2/2 - mv_1^2/2 = -F_2\cdot l$ (2.2), откъдето $F_2 = \dfrac{m\bigl(v_1^2 - v_2^2\bigr)}{2l} =$ [1 т.] $= \dfrac{60kg\bigl((20m/s)^2 - (10m/s)^2\bigr)}{2\cdot 60m} = 150\ \mathrm{N}$ [1 т.].

в) разстоянието $L$, което ще измине скиорът по хоризонталната част, докато спре, също може да се намери от закона за промяна на механичната енергия: $\Delta E' = A_{F_2}'$, или $-mv_1^2/2 = -F_2\cdot L$ (2.3), откъдето $L = \dfrac{mv_1^2}{2F_2} =$ [1 т.] $= \dfrac{60kg\cdot (20m/s)^2}{2\cdot 150N} = 80\ \mathrm{m}$ [1 т.].

г) тъй като ски влекът се движи равномерно, силата $F$, с която ще дърпа ски-влекът скиора нагоре по пистата, ще се уравновесява с другите две сили, действащи в обратна посока: силата на триене $F_1$ и силата $G_1$, свързана със силата на тежестта, следователно $F = F_1 + G_1$ [1 т.]. Когато скиорът се е спускал надолу, той пак се е движел под действието на силите $F_1$ и $G_1$, само че тогава силата на триене $F_1$ е била насочена нагоре. Тогава $G_1 - F_1 = ma_1 = mv_1^2/2s$ [1 т.]. Следователно $G_1 = F_1 + mv_1^2/2s$ и $F = 2F_1 + mv_1^2/2s$ [1 т.] $= 240N + 60kg\cdot (20m./s)^2/2\cdot 50m = 480\ \mathrm{N}$ [1 т.].