Съдържание

Условие А) Относителност на времето (6 т.)Б) Релативистки нееластичен удар (9 т.)Отговори Решение

НОФ 2011, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 4. Релативистки свят

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2011

Олимпиада по физика 2011, Национален кръг, Кърджали, 30 април 2011 г. — тема за 10.–12. клас · 30 април 2011 г. · 15 т.

Условие

Задачата се състои от две независими части.

А) Относителност на времето (6 т.)

През 1971 г. е проведен следният експеримент за проверка на ефектите на Специалната теория на относителността. Два цезиеви атомни часовника са синхронизирани помежду си така, че да показват еднакво време. Единият часовник е качен в самолет, който прави обиколка около Екватора, а другият остава неподвижен на земната повърхност. След като самолетът се завръща, показанията $\mathrm{t_1}$ на часовника от самолета и $\mathrm{t_2}$ на неподвижния часовник се сравняват.

Кой от часовниците показва по-голямо време?
Получете израз за разликата $\Delta \mathrm{t}$ в показанията на двата часовника чрез скоростта $v$ на самолета, обиколката $\mathrm{L}$ на Екватора и скоростта $\mathrm{c}$ на светлината.
Получете приблизителен израз за $\Delta \mathrm{t}$ , като вземете предвид, че $v/\mathrm{c} \ll 1$ . Пресметнете $\Delta \mathrm{t}$ при $v$ = 300 m/s и L = 42 000 km.
Като имате предвид, че в покой цезиевият атом излъчва електромагнитна вълна с дължина $\lambda$ = 3,2 cm, пресметнете на колко периода на трептене на вълната съответства разликата $\Delta \mathrm{t}$ във времената на двата часовника.

Приемете, че Земята е инерциална отправна система.

Скоростта на светлината е c = 3,0.10 $^8$ m/s.

Б) Релативистки нееластичен удар (9 т.)

Частица с маса в покой $\mathrm{m_1}$ , която се движи със скорост $v_0$ ., се удря в неподвижна частица с маса $\mathrm{m_2}$ . Двете частици се сливат и образуват една нова частица.

Колко е скоростта $v$ на новата частица?
Колко е масата в покой $\mathrm{m}$ на новата частица?
Сравнете $\mathrm{m}$ със сумарната маса в покой $\mathrm{m_1 + m_2}$ на двете частици преди удара. Обяснете накратко защо $\mathrm{m} \neq \mathrm{m_1 + m_2}$ .
Разгледайте случая $v_0/\mathrm{c} \ll 1$ и получете приблизителни изрази за скоростта $v$ на новата частица и за разликата в масите $\Delta \mathrm{m} = \mathrm{m} - (\mathrm{m_1 + m_2})$ .

Отговори

Решение

А) Относителност на времето

Времето $\mathrm{t_1}$ е интервал от собствено време за часовника в самолета. Времето $\mathrm{t_2}$ , отчетено в инерциалната отправна система, е:

t_2 = \frac{t_1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Следователно $\mathrm{t_2} > \mathrm{t_1}$ . [0,5 т.]

Спрямо Земята, самолетът обикаля Екватора за време:

t_2 = \frac{L}{v}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Следователно времето за една обиколка спрямо часовника в самолета е:

t_1 = \frac{L}{v}\sqrt{1 - v^2/c^2}.

Оттук получаваме:

\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{L}{v}\left(1 - \sqrt{1 - v^2/c^2}\right) \qquad \textbf{[1 т.]}

Когато $v/\mathrm{c} \ll 1$ , можем да използваме приблизителното равенство на Бернули: $(1+\mathrm{x})^{\mathrm{n}} \approx 1 + \mathrm{nx}$ , където $\mathrm{x} = -v^2/c^2$ и $\mathrm{n} = 1/2$ . Така получаваме:

\Delta t \approx \frac{Lv}{2c^2} \qquad \textbf{[1 т.]}

или $\Delta \mathrm{t} \approx 7.10^{-8}$ s. [1 т.]

Периодът на трептене на вълната, която излъчва цезиевият атом е:

T = \frac{\lambda}{c} \approx 1{,}07.10^{-10}\ \mathrm{s}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Следователно разликата във времената на двата часовника отговаря на:

N = \frac{\Delta t}{T} \approx 656 \qquad \textbf{[0,5 т.]}

периода на трептене.

Б) Релативистки нееластичен удар

Законите за запазване на импулса и енергията при удара се записват съответно:

\frac{m_1v_0}{\sqrt{1 - v_0^2/c^2}} = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \qquad \textbf{[1 т.]}

\frac{m_1c^2}{\sqrt{1 - v_0^2/c^2}} + m_2c^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \qquad \textbf{[1 т.]}

След като разделим почленно двете уравнения, намираме скоростта на новата частица:

v = \frac{v_0}{1 + \dfrac{m_2}{m_1}\sqrt{1 - v_0^2/c^2}}. \qquad \textbf{[1 т.]}

За масата в покой на новата частица съответно намиравме:

m = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + \frac{2m_1m_2}{\sqrt{1 - v_0^2/c^2}}} \qquad \textbf{[1 т.]}

За подкорениия израз е изпълнено неравенството:

m_1^2 + m_2^2 + \frac{2m_1m_2}{\sqrt{1 - v_0^2/c^2}} > m_1^2 + m_2^2 + 2m_1m_2 = (m_1+m_2)^2 \qquad \textbf{[1 т.]}

Следователно:

m > m_1 + m_2 \qquad \textbf{[1 т.]}

При нееластичен удар част от кинетичната енергия на частиците се трансформира във вътрешна енергия на новообразуваната частица. Оттук и от еквивалентността между маса и енергия следва, че масата в покой на новата частица е по-голяма от сумата на енергиите в покой на началните частици. [1 т.]

Когато $v_0/\mathrm{c} \ll 1$ можем да приемем, че без съществена загуба на точност

v \approx \frac{v_0}{1 + \dfrac{m_2}{m_1}} = \frac{m_1v_0}{m_1 + m_2}, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

което е класическият резултат. За определяне на $\Delta \mathrm{m}$ обаче това приближение не е достатъчно. В случая трябва да използваме формулата на Бернули:

m = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + \frac{2m_1m_2}{\sqrt{1-v_0^2/c^2}}} \approx \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + 2m_1m_2 + m_1m_2\,v_0^2/c^2} =

= (m_1+m_2)\sqrt{1 + \frac{m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}v_0^2/c^2} \approx (m_1+m_2) + \frac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)}v_0^2/c^2

Следователно:

\Delta m \approx \frac{m_1m_2v_0^2}{2(m_1+m_2)c^2} \qquad \textbf{[1,5 т.]}

Оригинал в Архива: NOF3_2011_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2011_10-12solutionsD1.pdf