Съдържание

НОФ 2011, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 3. Термодинамика на цикличен процес

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2011

Олимпиада по физика 2011, Национален кръг, Кърджали, 30 април 2011 г. — тема за 10.–12. клас · 30 април 2011 г. · 15 т.

Условие

На фигурата е показан цикличен процес, който се използва в топлинен двигател. Работното вещество е газообразен хелий, който може да се разглежда като идеален газ. Цикълът включва следните процеси: адиабатен 1–2, изобарен 2–3, изохорен 3–4 и процеса 4–1. Налягането $\mathrm{p_0 = 1\,atm}$ , а обемът $\mathrm{V_0 = 0{,}5\,l}$ . Отношението на обемите е $\varepsilon = \dfrac{V_0}{V_1} = 2$ , $\omega = \dfrac{V_2}{V_0} = 2$ .

p–V диаграма: адиабата 1→2 нагоре наляво, изобара 2→3 надясно при $p_1$, изохора 3→4 надолу при $V_2$, и права през началото 4→1.

а) Намерете налягането $\mathrm{p_1}$ , при което протича изобарният процес и крайното налягане $\mathrm{p_2}$ на газа в изохорния процес. [2 т.]

б) Определете работата $\mathrm{A}$ , която извършва двигателят за един цикъл. [8 т.]

в) Намерете неговия КПД $\eta$ . [1 т.]

г) Цикличният процес 1–4–3–2–1 може да се използва в топлинна машина, която работи или като хладилник, или като топлинна помпа. В случай на хладилник ефективността $\varphi$ се определя по отнетата топлина от охлажданото тяло за един цикъл и работата, извършена от външен източник. В случай на топлинна помпа ефективността $\psi$ се определя по отдадената топлина на нагряваното тяло за един цикъл и работата, извършена от външен източник. Определете коефициентите на ефективност $\varphi$ и $\psi$ . [4 т.]

Отговори

Решение

а)

От уравнението на адиабатния процес $pV^{\gamma} = \mathrm{const}$ с показател на адиабатата $\gamma = \dfrac{5}{3}$ (хелият е едноатомен газ) намираме

p_1 = p_0\varepsilon^{\gamma} \approx 3{,}2\ \mathrm{atm}. \qquad \textbf{[1 т.]}

В процеса 4–1 налягането $p$ е пропорционално на обема $V$ , т.е. $\dfrac{p}{V} = \mathrm{const}$ и за налягането $p_2$ получаваме

p_2 = p_0\omega = 2\ \mathrm{atm}. \qquad \textbf{[1 т.]}

б)

Работата $A$ , която извършва двигателят за един цикъл е

A = Q_{\mathrm{in}} - Q_{\mathrm{out}} = Q_1 - Q_2. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Работното вещество получава топлина $Q_1$ при изобарния процес и отдава топлина $Q_2$ при изохорния процес и процеса 4–1. Тогава

Q_1 = \nu c_p(T_3 - T_2) = \frac{5}{2}p_1(V_2 - V_1) = \frac{5}{2}p_0V_0\varepsilon^{\gamma-1}(\varepsilon\omega - 1) \approx 595\ \mathrm{J}, \qquad \textbf{[2 т.]}

където е отчетено, че $c_p = (5/2)R$ и уравнението на състояние на идеален газ е $pV = \nu RT$ .

От друга страна

Q_2 = Q_{21} + Q_{22}, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

където

Q_{21} = \nu c_V(T_3 - T_4) = \frac{3}{2}(p_1 - p_2)V_2 = \frac{3}{2}p_0V_0(\varepsilon^{\gamma} - \omega)\omega. \qquad \textbf{[1 т.]}

В процеса 4–1 моларният топлинен капацитет е

c = c_V + p\frac{\Delta V}{\Delta T} = 2R, \qquad \textbf{[1 т.]}

откъдето следва

Q_{22} = \nu c(T_4 - T_1) = 2(p_2V_2 - p_0V_0) = 2p_0V_0(\omega^2 - 1). \qquad \textbf{[1 т.]}

Тогава имаме

Q_2 = \frac{1}{2}p_0V_0(3\varepsilon^{\gamma} + \omega^2 - 4) \approx 238\ \mathrm{J} \qquad \textbf{[1 т.]}

и извършената от топлинния двигател работа за един цикъл е

A = \frac{1}{2}p_0V_0\left[\varepsilon^{\gamma}(5\omega - 3) - 5\varepsilon^{\gamma-1} - \omega^2 + 4\right] \approx 357\ \mathrm{J}. \qquad \textbf{[1 т.]}

в)

По определение КПД на цикъла е

\eta = \frac{A}{Q_1} \approx 0{,}60. \qquad \textbf{[1 т.]}

г)

В хладилния цикъл отнетата топлина от охлажданото тяло е $Q_2$ (топлината, която е получена от работното вещество), а извършената от външен източник работа е $A$ . Ефективността на хладилника се дава с израза

\varphi = \frac{Q_2}{A} = \frac{1-\eta}{\eta} \approx 0{,}67. \qquad \textbf{[2 т.]}

Когато цикълът се използва в топлинна помпа, отдадената топлина на нагряваното тяло е $Q_1$ (топлината, отдадена от работното вещество), а извършената от външен източник работа е $A$ . Ефективността на топлинната помпа е

\psi = \frac{Q_1}{A} = \frac{1}{\eta} \approx 1{,}67. \qquad \textbf{[2 т.]}

Оригинал в Архива: NOF3_2011_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2011_10-12solutionsD1.pdf