Съдържание

НОФ 2011, III кръг (национален), 9. клас — Задача 2. Електрически мост

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2011

Олимпиада по физика 2011, Национален кръг, тема за 9. клас · 30 април 2011 г. · 10 т.

Условие

Четири резистора са свързани към източник с напрежение U = 24 V по начина, показан на фигура 2.1. Съпротивленията на резисторите са дадени на фигурата.

Фиг. 2.1. Четирите резистора и числените им стойности.

А) Колко е еквивалентното съпротивление $R_e$ на веригата? Получете израз чрез $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ и пресметнете числената му стойност. [2 т.]

Б) Пресметнете тока $I_{MN}$ , който тече по жичката MN. Каква е посоката на тока – от M към N или от N към M? [3 т.]

На фигура 2.2 е показана верига, която се състои от 3 еднакви резистора, всеки със съпротивление $R_0$ , един реостат с променливо съпротивление R, диод D и източник на постоянно напрежение. Приемете, че диодът е идеален, т.е. съпротивлението му е нула при включване в права посока и безкрайно голямо при включване в обратна посока.

Фиг. 2.2. Диодът D и променливото съпротивление R.

В) Получете изрази за еквивалентното съпротивление $R_e$ на веригата в зависимост от съпротивлението R на реостата. Разгледайте всички възможни случаи. [3 т.]

Г) На фиг. 2.3 (на последния лист) е дадена графика на експериментално измереното еквивалентно съпротивление $R_e$ от съпротивлението R на реостата. Колко е съпротивлението $R_0$ ? [2 т.]

Към задача 2. Ако е нужно, можете да извършвате построения по графиката, кокто и да записвате поясняващ текст.

Предайте този лист заедно с вашите решения!

Фиг. 2.3. Пълната оригинална графика от листа за предаване.

Решение

А) Понеже точките M и N имат еднакви потенциали, веригата е еквивалентна на следната верига: [0,5 т]

Еквивалентното съпротивление на лявата секция е:

R_{1-2} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}

Еквивалентната верига с четирите числено означени резистора.

[0,25 т]

а на дясната:

R_{3-4} = \frac{R_3R_4}{R_3+R_4}

[0,25 т]

Понеже двете секции са свързани последователно към източника, еквивалентното съпротивление на веригата е:

R_e = R_{1-2} + R_{3-4} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} + \frac{R_3R_4}{R_3+R_4}

[0,5 т]

или $R_e = 80\ \Omega$ . [0,5 т]

Б) Токът в общата част на веригата е:

I = \frac{U}{R_e} = 0{,}3\ \mathrm{A}

Напрежението върху резисторите 1 и 2 е: $U_{1-2} = IR_{1-2} = 18\ \mathrm{V}$ , а токът през резистора 2:

I_2 = \frac{U_{1-2}}{R_2} = 0{,}18\ \mathrm{A}

[1 т]

Напрежението върху резисторите 3 и 4 е: $U_{3-4} = U - U_{1-2} = 6\ \mathrm{V}$ , а токът през резистора 4:

I_4 = \frac{U_{3-4}}{R_4} = 0{,}2\ \mathrm{A}

[1 т]

Приемаме за положителна посоката на тока от M към N. Тогава токът през жичката MN е:

I_{MN} = I_2 - I_4 = -0{,}02\ \mathrm{A}

[0,5 т]

Знакът „–“ показва, че действителната посока на тока е от N към M. [0,5 т]

В) I случай – отпушен диод. Тогава веригата е еквивалентна на веригата от т. А и Б, като $R_1 = R_2 = R_3 = R_0$ и $R_4 = R$ . [0,5 т]

Еквивалентното съпротивление на веригата в този случай е:

R_e = \frac{R_0}{2} + \frac{R_0R}{R_0+R}

[0,5 т]

За да бъде диодът отпушен, е нужно токът да тече от M към N. Като повторим разсъжденията от предишната задача, стигаме до извода, че това е възможно, когато $R > R_0$ . [0,5 т]

II случай – запушен диод. Веригата е еквивалентна на следната: [0,5 т] В този случай $R \le R_0$ . [0,5 т]

Еквивалентното съпротимление на веригата е:

R_e = \frac{2R_0(R_0+R)}{3R_0+R}

[0,5 т]

В) Можем да използваме факта, че когато $R = R_0$ , $R_e = R = R_0$ . [0,5 т]

Затова, построяваме правата, съответстваща на функцията $y = x$ . Пресечната точка на тази права с графиката на $R_e$ от R, дава търсената стойност: [0,5 т]

Пълното графично построение с правата y=x и отчетената стойност.

R = R_0 = (42 \pm 1)\ \Omega

[0,5 т]

[0,5 т за графичното построение]

Възможно е и директно отчитане на $R_e$ при една или при няколко стойности на R. Стойността на $R_0$ се определя от решаване на уравнението

R_e = \frac{R_0}{2} + \frac{R_0R}{R_0+R}

или

R_e = \frac{2R_0(R_0+R)}{3R_0+R}

в зависимост от големината на R.

Оригинал в Архива: NOF3_2011_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2011_9solutions.pdf