Съдържание

НОФ 2011, III кръг (национален), 9. клас — Задача 3. Подскачаща пружина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2011

Олимпиада по физика 2011, Национален кръг, тема за 9. клас · 30 април 2011 г. · 10 т.

Условие

Пружина с коефициент на еластичност k = 80 N/m и дължина в недеформирано състояние $\ell_0$ = 10 cm е закрепена към хоризонтална поставка с маса M = 1 kg (фиг. 3.1). Поставката лежи върху хоризонтална повърхност. Към свободния край на пружината е прикрепено трупче с маса m = 0,2 kg и пружината е свита до дължина $\ell_1$ = 2,5 cm (фиг. 3.2). След като пружината е освободена, трупчето продължава да трепти свободно с нулева начална скорост.

А) Колко е периодът T на трептене на трупчето? [1 т.]

Б) С каква амплитуда A трепти трупчето? [1,5 т.]

В) Колко е средната скорост $v_{\text{ср}}$ на трупчето от момента, в който пружината е освободена до момента, в който то достига максимална височина? [2 т.]

Г) Каква максимална скорост $v_{\max}$ достига трупчето в този интервал от време? [3 т.]

Д) Каква сила N на натиск оказва поставката върху хоризонталната повърхност, когато трупчето се намира на максимална височина? [2,5 т.]

Приемете, че g = 10 m/s $^2$ .

Фиг. 3.1. Пружината в недеформирано състояние.

Решение

А) Периодът на трептене е:

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

[0,5 т]

или

T = 2\cdot 3{,}14\sqrt{\frac{0{,}2\ \mathrm{kg}}{80\ \mathrm{N/m}}} = 0{,}314\ \mathrm{s}

[0,5 т]

Б) Трупчето трепти симетрично спрямо равновесното си положение. Дължината на пружината, когато трупчето е в равновесие, се определя от равенството на силата на тежестта и силата на еластичност:

mg = k(\ell_0 - \ell_{\mathrm{p}})

[0,5 т]

Оттук намираме:

\ell_{\mathrm{p}} = \ell_0 - \frac{mg}{k} = 0{,}075\ \mathrm{m} = 7{,}5\ \mathrm{cm}

[0,5 т]

Амплитудата е равна на началното отклонение от равновесното положение:

A = \ell_{\mathrm{p}} - \ell_1 = 5\ \mathrm{cm}

[0,5 т]

В) От най-долното до най-горното положение трупчето изминава път:

s = 2A

[0,5 т]

за време:

t = \frac{T}{2}

[0,5 т]

Следователно средната скорост на трупчето е:

v_{\text{ср}} = \frac{s}{t} = \frac{4A}{T}

[0,5 т]

или

v_{\text{ср}} = \frac{4\cdot 0{,}05\ \mathrm{m}}{0{,}314\ \mathrm{s}} \approx 0{,}64\ \mathrm{m/s}

[0,5 т]

Г) Трупчето се движи с максимална скорост, когато минава през равновесното си положение. [0,5 т]

От закона за запазване на енергията следва:

mg\ell_1 + \frac{k(\ell_1-\ell_0)^2}{2} = \frac{mv_{\max}^2}{2} + mg\ell_{\mathrm{p}} + \frac{k(\ell_{\mathrm{p}}-\ell_0)^2}{2}

[1 т]

откъдето

\frac{mv_{\max}^2}{2} = \frac{kA^2}{2}

[0,5 т]

Оттук намираме:

v_{\max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}

[0,5 т]

или

v_{\max} = 0{,}05\ \mathrm{m}\cdot\sqrt{\frac{80\ \mathrm{N/m}}{0{,}2\ \mathrm{kg}}} = 1\ \mathrm{m/s}

[0,5 т]

Д) Силата на натиск, която поставката оказва върху пода, е:

N = Mg - F_e

[0,5 т]

ако пружината е опъната, или:

N = Mg + F_e

[0,5 т]

ако пружината е свита. Дължината па пружината в най-горната точка е:

\ell_2 = \ell_{\mathrm{p}} + A = 12{,}5\ \mathrm{cm}

[0,5 т]

т.е. пружината е разтегната. Като приложим закона на Хук, получаваме:

N = Mg - k(\ell_2 - \ell_0)

[0,5 т]

или

N = 1\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{m/s^2} - 80\ \mathrm{N/m}\cdot 0{,}025\ \mathrm{m} = 8\ \mathrm{N}

[0,5 т]

Оригинал в Архива: NOF3_2011_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2011_9solutions.pdf